2012年深圳市第三届启智杯（初中组）真题(含答案解析）
5. 在一张正五边形的纸片内有2007个点，加上5个顶点共有2012个点。
（1）如果这些点中任意3个点都不在同一条直线上，现在以这2007个点为顶点，把纸片剪开，最多剪出______个三角形（任意两个三角形没有重叠），写出推算过程；
（2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出的三角形个数吗？说明你的结论和理由。 
参考答案：（1）4017；（2）可以确定，结论不变。
如图，从简单的数字入手寻找规律，
当正五边形内有2个点时，可以剪出7个三角形；
当正五边形内有3个点时，可以剪出9个三角形；
当正五边形内有4个点时，可以剪出11个三角形；
......
当正五边形内有n个点时，可以剪出（3+2n）个三角形；
当n=2007时，可以剪出4017个三角形。
原因是：任意3个点都不在同一条直线上，这说明，每增加一个点，这个点必落在某一个三角内，这样原来的1个三角形就可以一分为三，多出两个。
（2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，仍然可以剪出4017个三角形。原因是，每增加一个点，这个点或者落在某一个三角内，或者落在某一个三角的边上，前者当然增加两个三角形，而后者会将共用该边的两个三角形各拆分为2，仍然会增加两个三角形，因此结论不变。
评分标准：两小题各为5分。每小题答案正确得2分，说明理由得3分。