9．4矩形、菱形、正方形（2）
【教学目标】
1．理解矩形的判定定理并会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
2．了解两条平行线之间的距离的意义，并会求两条平行线之间的距离．
3．会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．
【重、难点】
重点：会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．
难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．
【教学过程】
活动1
（1）矩形的四个角都是直角，反过来，四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
（2）当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是， 请给出证明．
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
归纳矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形。
例题讲解：
例 1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
证明：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC= AB=DA=DB
∵ DC=DA，DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC
即∠DFC=90°
同理∠DEC=90 °
∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
例2．如图，直线 ∥ ，A、C是直线 上任意两点，AB⊥ ，CD⊥ ，垂足分别为B、D．线段AB、CD相等吗？为什么？
解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，
可知AB ∥ CD．
又因为l1∥l2 ，
所以四边形ABCD是矩形，
AB=CD．
两条平行线之间的距离处处相等．
【反馈练习】
1． 下面说法正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形；
B．有两条对角线相等四边形是矩形;
C．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形；
D．有两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________．
3．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE=S△COE其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＋∠D＝180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形．
5． 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点， 过点O作直线MN//BC, 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）说?EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．