17.5 实践与探索(第3课时)
(一)本课目标
1.通过描点,拟合变量之间的函数关系,导出函数的关系式, 从中体会实际问题中的数学建模思想.
2.了解收集数据、用描点法整理数据是猜想函数名称、利用所得函数性质解决问题的基本思想方法.
(二)教学流程
1.情境导入
(利用多媒体演示幻灯片)
王莉同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时, 通过调查获得下表数据:
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x(厘米) |
23 |
25.5 |
23.5 |
26 |
24.5 |
…… |
|
y(码) |
36 |
41 |
37 |
42 |
39 |
…… |
(1)根据表中提供的信息,你能猜想出y与x之间的函数关系式吗?
(2)问43码的鞋相当于多少厘米的鞋?
2.课前热身
(1)用描点法画函数图象,一般分成哪几个步骤?
(2)一次函数、反比例函数的图象分别具有什么特征?
3.合作探究
(1)整体感知
为了解决上述问题,本节课我们将着重探讨通过描点,探究出函数图象的特征, 根据函数图象的特征拟合函数变量之间的关系,然后利用这个函数关系解决问题.
(2)四边互动
师:利用多媒体演示幻灯片5.
问题3:为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:
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t(℃) |
-40 |
-20 |
-10 |
0 |
10 |
20 |
40 |
60 |
|
V(cm3) |
998.3 |
999.2 |
999.6 |
1000 |
1 000.3 |
1 000.7 |
1 001.6 |
1 002.3 |
能否据此求出V和t的函数关系?
分析:将这些数值所对应的点在坐标系中描出.我们发现, 这些点大致位于一条直线上,可知V和t近似地符合一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合,求出近似的函数关系式.如图所示的就是一条这样的直线, 较近似的点应该是(10,1000.3)和(60,1002.3),这样我们就可以求出这个函数的解析式.也可以将直线稍稍挪动一下,不敢这两点,换上更适当的两点.请你自己试一试,再和同学讨论、交流.
生:动手尝试,并交流操作和解答的结论.
师:从上述的操作中,你受到哪些启发?有哪些体会?请和同学们交流一下你的观点.
明确 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什么函数,需要我们根据经验分析,也需要进行近似计算和修正, 建立比较接近的函数关系式进行研究.常用的方法是:把实践或调查中得到的一些变量的值,通过描点得出函数的近似图象,再根据画出的图象的特征,猜想相应的函数名称,然后利用待定系数法求出函数关系式.
互动2
师:根据上述解决问题的方法,请探究本课开始提出的问题中隐含的函数关系式,并解答提出的问题,然后在小组内展开交流,比一比,看谁解答得最好.
生:经过独立尝试后,在小组内展开交流,并对自己的解题方法和思路进行反思,逐渐形成正确的观念,纳入个人的认知结构中.
明确 教师利用多媒体演示解答的过程和结果.
把x和y的对应值分别作为点的横、纵坐标,在坐标系中描出表格中的各点,画出近似图象(如图所示).
图象可以近似地看成直线,且点(23,36)和点(26,42)在图象上,由待定系数法求得的函数解析式为:y=2x-10.当y=43时,x=26.5,表明43码的鞋与26.5厘米的鞋大小一样.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
小明在做电学实验时,电路图如图所示.
在保持电源不变的情况下, 改换不同的电阻R,并用电流表测量出通过不同电阻的电流I,记录结果如下:
|
电阻R(欧姆) |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
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电流I(安培) |
6 |
3 |
2 |
1.5 |
1.2 |
1 |
(1)建立适当的平面直角坐标系,在坐标系中描出表格中的各点, 并画出该函数的近似图象;
(2)观察图象,猜想I与R之间的函数关系,并求出函数解析式;
(3)小明将一个未知电阻值的电阻串联到电路中,查得电流表的度数为0.5安培,你知道这个电阻的电阻值吗?
请同学们独立解答问题,然后在小组内交流解答的结果,看谁解答得又对又快?
生:动手操作,再在小组内展开交流,并进行相互评价.
明确 教师利用多媒体演示解答的结果,验证同学们得出的结论.
用描点法画出表格中的各点,可得函数的近似图象(如图所示), 由近似图象可知,是反比例函数,且用待定系数法求得函数解析式为I= ,当I=0.5时,R=24.
4.达标反馈
请同学们先独立探究课本中练习提出的问题, 然后在相邻的四位同学中进行交流,统一结论后举手回答问题.
教师利用多媒体演示正确的解题过程和结果,验证同学们的操作结论.
5.学习小结
(1)内容总结
通过本节课的学习,同学们学到了哪些知识?
(2)方法归纳
在实验或调查的基础上获得数据后,常常用描点的方法整理数据,再画出函数的近似图象,从而由图象的特征猜想函数关系,然后解答?题.
(三)延伸拓展
1.链接生活
某商店在售货时,在进价的基础上加上一定的利润.其数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表所示,请你根据表中提供的信息,探究出y与x之间的函数关系式,并求出当售价为65元时,售出该物品的数量.
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数量x(千克) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
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售价y(元) |
6+0.5 |
12+1.0 |
18+1.5 |
24+2.0 |
30+2.5 |
… |
2.实践探索
(1)实践活动
在网站收集有关一定质量的气体,其密度随体积变化的相关数据,并探究出密度与体积之间关系的函数关系式.
(2)巩固练习
课本第69页复习题第8题.
(四)板书设计
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课题
探究函数关系式一般方法
收集数据──描点──猜想函数关系式──解决问题 |
投影幕 |