2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）含答案解析
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•邵阳二模）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，
∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，
m的范围为[﹣6，8]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题，属于中档题．