【挑战中考数学压轴】（精选）（2016版）：第二部分 函数图象中点的存在性问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。
（1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
动感体验
请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．
思路点拨
1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式．
2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．
满分解答
（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。
如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。
当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。