第1课时　命题与证明(一)

教学目标

【知识与技能】

1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.

2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题.

3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.

【过程与方法】

1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力.

2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.

【情感、态度与价值观】

1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.

2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性.

重点难点

【重点】

学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.

【难点】

严密完整地写出推理过程.

教学过程

一、创设情境,导入新知

教师多媒体出示:

有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗?

学生交流讨论后回答.

生甲:都放不进去.

生乙:枣能放进,苹果放不进.

生丙:都能放进.

师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发?

生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.

师:对,我们要做到有理有据.

上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问:

在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;

度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°.

这两种情况怎么解释呢?

学生思考、交流、讨论.

师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命题的真假,需要做必要的逻辑推理.

二、共同探究,获取新知

师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.

教师多媒体出示:

(1)长江是中国第一大河;

(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;

(3)2+3≠5;

(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.

教师找一名学生回答,然后集体订正.

师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、(2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.

教师多媒体出示:

(1)请关上窗户;

(2)你明天骑车来上学吗?

(3)天真冷啊!

(4)今天晚上不会下雨.

(5)昨天我们去旅游了.

师:请同学们判断一下哪些语句是命题?

学生讨论后回答,然后集体订正.

师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、“那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等”.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或假?),q是这个命题的结论(或题断).

三、边讲边练

教师多媒体出示:

【例1】　指出下列命题的条件与结论:

(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;

(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.

生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.

生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.

四、层层推进,深入探究

师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗?

学生交流讨论后发表意见.

师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的逆命题是什么?

生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角”.

师:它是真命题还是假命题呢?

生:假命题.

师:你是怎么判断它是假命题的呢?

学生交流讨论后回答.

教师多媒体出示下图.

师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.

五、练习新知,加深讨论

师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题.

教师找学生回答,然后集体订正得到:

(1)假命题.

反例:|-1|=|1|,但-1≠1.

(2)假命题.

反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数.

(3)真命题.

(4)假命题.

若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.

师:我们来看第3题.

教师找学生回答,然后集体订正得到:

(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.

师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证,在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理?

生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.

生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.

生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,

师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子?

生甲:对顶角相等.

生乙:三角形的三个内角和等于180°.

生丙:等角的补角相等.

师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行”.