三、层层推进,深入探究

师:一般地,任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式,所以每个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.现在请大家建立一个直角坐标系,并在这个坐标系中画出方程x+2y=2的图象l₁与方程2x-y=-6的图象l₂.

学生作图,教师巡视指导,要求作图要精确,因为图象的精确性直接影响结果.

师:它们是否交于一点?

生:是.

师:这个交点的坐标是多少?

生:(-2,2).

师:请大家检验一下它是否是方程组的解.

学生检验后回答:是.

师:为什么呢?

生:直线l₁是方程x+2y=2的图象,因此,直线l₁上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解;同理,直线l₂上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l₁与l₂的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,这个交点的坐标是二元一次方程组的解.

师:请同学们利用图象法解方程组

学生作图求解后回答,教师订正.

师:由上面的过程我们能总结出用图象法解二元一次方程组是这样一个过程:先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程对应的直线,这两条直线若相交,其交点的坐标就是方程组的解.但是,二元一次方程组确定的两条直线是否必定会相交于一点呢?我们看看下面这个例子.

四、深入探究,强化理解

师:请同学们用图象法解方程组

学生作图.

师:你们作出的两个方程图象有什么关系?

生:两条直线互相重合.

师:这意味着什么呢?

学生小组讨论.

生:说明直线上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.

师:对.大家再用图象法解这个方程组你们又有什么发现?

学生作图.

生:两条直线平行,它们没有交点.

师:这代表什么呢?

学生小组讨论.

生:这个方程组无解.

师:很好!通过上面几个例子和练习,我们可以得到二元一次方程组的解有三种情况.我们把方程组化成标准形式后,你比较一下两个方程中x的系数、y的系数与常数项的比,看它们的比值之间的关系对图象、方程组的解有什么影响?

学生讨论,教师参与.

生甲:如果x的系数之比与y的系数之比不相等,则两直线有一个交点,方程组有一组解.

生乙:如果x的系数之比与y的系数之比相等,但与常数项的比不等时,两直线没有交点,方程组无解.

生丙:如果x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者都相等,则两直线重合,方程组有无穷多组解.

师:同学们总结得很好.

教师板书得到的结论.

五、迁移巩固

师:请同学们把第53页练习做一下.

学生做题,然后集体订正.

(1)≠,所以方程组有一组解;

(2)原方程组可变形为

==,所以方程组有无数多组解;

(3)=≠,所以方程组无解:

(4)第二个方程可变形为:x-y=0.

≠,所以原方程组有一组解.

六、课堂小结

师:今天我们学习了什么内容?

生甲:学习了用图象法解二元一次方程组.

生乙:还学习了怎样根据二元一次方程组中的两个方程的系数关系判断方程组解的个数.

师:同学位回答得很好!你能说说怎样根据两个方程系数的关系来判断方程组解的个数吗?

学生回答,教师补充完善.

教学反思

通过本节课的学习,学生掌握了用图象法求解二元一次方程组的方法,这是用图象法解方程、不等式的延伸.学生通过观察、总结,自己得到怎样由x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者之间的关系与方程组的解的数量之间的联系,总结出规律,让他们享受探索求真的乐趣,培养发现问题、解决问题的能力.能力的培养,特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点,能力培养是以自主探究为平台.“自主”不是一盘散沙,“探究”不是漫无边际,要提高探究的质量,必须在教师的引导下进行.