【教学目标】

教学知识点

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.

能力训练要求

在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

情感与价值观要求

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.

【教学重难点】

重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.

难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.

【教学过程】

一、创设情景 引入课题

师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

(板书)课题

学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.

二、自主探究 合作交流 建构新知

追问1:观察思考,抽象为数学问题

这是一个实际问题,你打算首先做什么?

活动1:思考画图、得出数学问题

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).

强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

活动2:尝试解决数学问题

问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?

追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

问题2　如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?

师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充

如果学生有困难,教师可作如下提示

作法:

(1)作点B 关于直线l 的对称点B';

(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.

如图所示:

问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.

由轴对称的性质知,

BC =B'C,BC'=B'C'.

∴AC +BC= AC +B'C = AB',

AC'+BC'= AC'+B'C'.

在△AC'B'中,

AC'+B'C'>AB',

∴当只有在C点位置时,

AC+BC最短.

方法提炼:

将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

问题4

练习　如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.

基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为?条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.

问题5　造桥选址问题

如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?

2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?

思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)

1.把A平移到岸边.

2.把B平移到岸边.

3.把桥平移到和A相连.

4.把桥平移到和B相连.

教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.

1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?

问题解决:如图,平移A到A₁,使AA₁等于河宽,连接A₁B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M₁N₁,连接AM₁,BN₁,A₁N₁. 由平移性质可知,AM=A₁N,AA₁=MN=M₁N₁,AM₁=A₁N₁. AM+MN+BN转化为AA₁+A₁B,而AM₁+M₁N₁+BN₁ 转化为AA₁+A₁N₁+BN₁. 在△A₁N₁B中,由线段公理知A₁N₁+BN₁>A₁B.因此AM₁+M₁N₁+BN₁> AM+MN+BN,如图所示:

三、巩固训练

(一)基础训练

1.最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.

如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.

如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.

2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)

如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.