从点集开始
为了超越哥德尔不完备性定理，为了获得一个既不自相矛盾又能证明其中一切真理的数学系统，图灵需要从皮亚诺公理开始，一次又一次地添加新的公理，得到越来越大的数学系统。但无论添加多少次，在获得的系统中，一致性与完备性仍然不可两立，即使添加无穷条公理，也无法跨越“有限”所设置的障壁。要达到原本的目的，图灵必须尝试添加更多的公理。但既然已经添加了无限条新公理，新的公理还会起作用吗？又要怎么去描述“无穷之后”的新公理？“无穷之后”又是什么？
无独有偶，在大约五十年前的十九世纪80年代，另一位数学家也碰到了类似的问题，而他的工作正好给图灵提供了描述“无穷之后”的语言。
这位数学家叫格奥尔格·康托尔，集合论之父。
虽然康托尔最大的贡献是为集合论奠基，但他科研生涯的起点与集合论相去甚远。他师从库默尔和魏尔斯特拉斯，博士论文的题目自然也是与数论相关。让他转向集合论研究的关键人物，是爱德华·海涅（Eduard Heine），一位专攻数学分析的数学家。康托尔博士毕业后不久，就在德国的哈雷大学找到了一份教职，而他的新同事中就有海涅。正是海涅鼓励康托尔研究有关三角级数的问题，他对康托尔提出了这样一个问题：什么样的函数拥有唯一的三角级数表达？
三角级数，顾名思义，是由正弦和余弦这些三角函数组成的级数。无论是正弦还是余弦，它们的图像都如同周期性的波纹，而实际上它们也的确描绘了各种各样的简谐振动。在数学上而言，它们是一些特别简单的周期函数，有着特别美妙的特性。但现实往往是复杂的，在工程中，为了实际应用，我们常常逼切地需要计算与工程中出现的函数有关的各种数量和性质。但这些来源于现实的一般函数，几乎不存在任何规律，同样缺乏任何可资利用的特性。于是，如何借助简单而规则的三角函数，来表达复杂而无序的一般函数，这自然同时吸引了数学家、物理学家与工程师。
三角级数正滥觞于此。在1822年，法国数学家傅里叶在他的著作《热的解析理论》中，为了研究热传导的现象，将热量的分布函数分解为三角函数的级数和，并且提出一个构想：所有函数都能表达为三角级数。
当然，事情并没有那么简单。尽管现实中遇到的函数（连续函数）都拥有这样的表达，但对于更为复杂的函数，这却不一定成立。另外一个问题是，对于任意的一个函数，尽管都可以通过傅里叶变换得到对应的三角级数，但谁也不知道会不会有另外一个三角级数也会给出同样的函数。也就是说，虽然通过傅里叶变换，可以知道必定存在一般函数的三角级数表达，但这种表达是否唯一，却并非显然。
康托尔一开始希望解决的，就是这个问题。
凡事总得一步一步来。在1870年，康托尔证明了某个区间上的连续函数必定有唯一的三角级数表达，后来又证明了，即使函数在区间中的有限个点处不连续，也不影响这种表达的唯一性。最后，他在1872年证明了一个非常广泛而复杂的结论：如果函数在区间上大体是连续的，只有在某个点集P上的点不连续，那么如果P满足某个复杂的性质，那么函数就有唯一的三角级数表达。
傅里叶变换