重庆市南开中学2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析
23．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”，例如：
23→22+32=13→12+32=10→12+02=1
91→92+12=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1．
所以23和91都是“快乐数”．
（1）13 是 （填“是”或“不是”）“快乐数”；最小的三位“快乐数”是 100 ；
（2）若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，求出这个“快乐数”；
（3）请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）由13经过两次运算后结果为1可得出13是“快乐数”，再由100经过一次运算后结果为1结合100为最小的三位数即可得出最小的三位“快乐数”是100；
（2）由一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1可得出该“快乐数”经过一次运算后结果为10或100，将10和100拆分成两个平方数相加的格式即可得出结论；
（3）通过运算可找出16不是“快乐数”，结合“快乐数”在经过若干次运算后仍为“快乐数”即可证出结论．
【解答】解：（1）∵13→12+32=10→12+02=1，
∴13是“快乐数”．
∵100→12+02+02=1，且100是最小的三位数，
∴最小的三位“快乐数”是100．
故答案为：是；100．
（2）∵一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，
∴该两位数经过一次运算为10或100，
∵10=1+9=12+32，100=64+36=82+62，
∴这个“快乐数”为13、31、68或86．
（3）∵16→12+62=37→32+72=58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→42+22=20→22+02=4→42=16，
∴16不是“快乐数”．
∵任意一个“快乐数”经过若干次运算后得到的数都是“快乐数”，
∴任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16．
【点评】本题考查了因式分解的应用，读懂题意弄清“快乐数”的判定是解题的关键．