河北省张家口市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析  
12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[﹣1，7]上所有实根之和是（　　）
A．12 B．14 C．6 D．7
【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．
【分析】根据函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x），推出函数的周期性，然后判断方程f（x）=﹣1在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程f（x）=1在区间[﹣1，7]上所有实根之和．
【解答】解：由f（2﹣x）=f（x）知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
由f（x）是R上的奇函数知f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=﹣f（4﹣x）
在f（2﹣x）=f（x）中，以x﹣2代x得：
f（2﹣（x﹣2））=f（x﹣2）即f（4﹣x）=f（x﹣2），
所以f（x）=f（2﹣x）=﹣f（4﹣x）=f（x﹣4）
即f（x+4）=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数．
考虑f（x）的一个周期，例如[﹣1，3]，
由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数，
f（x）在（﹣1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数．
对于奇函数f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2﹣2）=f（0）=0，
故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）=0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）=0，
当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞f（0）=0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）=0，
方程f（x）=﹣1在[0，1）上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，
则由于f（2﹣x）=f（x），故方程f（x）=﹣1在（1，2）上有唯一实数．
在（﹣1，0）和（2，3）上f（x）＞0，
则方程f（x）=﹣1在（﹣1，0）和（2，3）上没有实数根．
从而方程f（x）=﹣1在一个周期内有且仅有两个实数根．
当x∈[﹣1，3]，方程f（x）=﹣1的两实数根之和为x+2﹣x=2，
当x∈[﹣1，7]，方程f（x）=﹣1的所有四个实数根之和为x+2﹣x+4+x+4+2﹣x=2+8+2=12．
故选：A．