山西省运城市2015-2016年高二上期末数学试卷(文)含答案解析  
19．已知圆P与直线x=﹣1相切，且经过（1，0），设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点A的坐标为（2，1），点B在曲线C上运动，求线段AB中点的轨迹方程．
【分析】（1）由题意圆心P的轨迹是以（1，0）为焦点、开口向右的抛物线，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；
（2）设线段AB中点M（x，y），B（x1，y1），由题意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，由点B在曲线C上运动，能求出点M的轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意圆心为P到点（1，0）的距离等于P直线x=﹣1相切，
所以圆心P的轨迹是以（1，0）为焦点、开口向右的抛物线．
所以曲线C的方程y²=4x；
（2）设线段AB中点M（x，y），B（x1，y1），
由题意知：x₁=2x﹣2，y₁=2y﹣2，
∵点B在曲线C上运动，
∴（2y﹣2）²=4（2x﹣2），
整理，得（y﹣1）²=2x﹣2．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查计算能力，考查代入法的运用，正确运用抛物线的定义是关键．