14.1勾股定理教学设计
3.反证法
【教学目标】
知识与技能
1.通过实例,体会反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
过程与方法
通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.
情感、态度与价值观
在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.
【重点难点】
重点
运用反证法进行推理论证.
难点
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.
二、师生互动,探究新知
活动1 反证法的步骤.
教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗?
学生讨论交流,选代表发言.
如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.
教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?
学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.
【教师归纳】
先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.
活动2 用反证法证明.
教材P116例5.
【教师活动】
原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗?
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
教材P116例6.
【教师活动】
△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
【教师活动】
在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.
三、随堂练习,巩固新知
1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设 .
(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.
①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.
②所以∠B<90°.
③假设∠B≥90°.
④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.①②③④ B.③④②①
C.③④①② D.④③②①
【答案】
(1)一个三角形中有两个角是钝角
(2)C
【例2】
求证:△ABC中至少有两个角是锐角.
【答案】
证明:假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.
(1)当△ABC中只有一个锐角时,不妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.
(2)假设△ABC中没有锐角,则∠A≥90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.
由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.
综上所述,△ABC中至少有两个锐角.
四、典例精析,拓展新知
【例】
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【教师活动】
(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?
要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).
【学生活动】
讨论交流后独立完成.
五、运用新知,深化理解
【例3】
求证:若a>b>0,则>.
【解析】
>的反面是=或<.
【答案】
证明:假设不大于b,则=或<.
(1)当=时,可得a=b,这与已知a>b矛盾,所以=,不成立.
(2)当<时,
∵a>0,b>0,
∴>0,>0,
∴·<·,即a<.
同理可证<b.
∴a<b,这与已知a>b矛盾.
∴<不成立.
综合(1)、(2)可知:>.
1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.
【答案】
假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C≤0.
由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).
∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.
∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.
【教学反思】
反证法是一种重要的证题方法,也是初中数学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.
教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.