【教学目标】

知识与技能

能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.

过程与方法

经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用的条件.

情感、态度与价值观

培养合情推理能力,体会数形结合的思维方法,激发学习热情.

【重点难点】

重点

勾股定理及逆定理的应用.

难点

勾股定理的正确使用.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

教师多媒体展示,教材P₁₂₀例1.

【教师活动】

自己利用圆柱体的纸教具尝试从A到B画n条路径,你认为哪条最短?将圆柱沿轴截面剪开,看看最短的是平面图形中的哪条线段?并与同伴交流.

【学生活动】

　操作、观察、求解、展示.

【教师活动】

教师通过多媒体演示,进一步加强直观,在此基础上,涉及到立体图形的侧面上的最短路径常常化“曲”为“平”,由勾股定理求解.

二、师生互动,探究新知

出示例题见教材P₁₂₁例2.

【教师活动】

根据生活经验卡车如何行走较易通过大门?如何构建直角三角形将要求的量化归到直角三角形中?

【学生活动】

学生思考,找出直角三角形,分析如何求解.看CH是否大于2.5米?

【教师活动】

本例采用了“定宽比高”的策略,还可采用“定高比宽”.请同学们讨论分析.

出示例题见教材P₁₂₂例3.

【教师活动】

如何构造?图中可画几条的线段?

【学生活动】

　动手操作,画出图形,并思考其中的道理.

三、随堂练习,巩固新知

1.如图,一根旗杆在离地面5米的B处断裂,旗杆顶部落在离杆底12米的A处,旗杆断裂之前有多高?

【答案】

∵5²+12²=AB²,∴AB=13(米).

∴旗杆断裂之前的高度为5+13=18(米).

2.甲、乙两船同时离开港口,各自沿固定方向航行,甲船每小时航行16海里,乙船每小时航行12海里,航行1.5小时后两船相距30海里.如果知道甲船沿东北方向航行,你能说出乙船沿哪个方向航行吗?

【答案】

1.5小时后,甲船距港口16×1.5=24(海里),乙船距港口12×1.5=18(海里),在由港口出发1.5小时后甲船所在位置、乙船所在位置构成的三角形中,因为24²+18²=900=30²,所以由勾股定理逆定理知,该三角形是直角三角形,即甲、乙两船的航向成90°角.而甲船沿东北方向航行,故乙船沿东南方向或西北方向航行.

四、典例精析,拓展新知

出示例题见教材P₁₂₂例4.

【教师活动】

着色部分的面积如何计算?由CD=6 m(单位米),AD=8 m(单位米),你得到什么?△ABC的形状是什么?

【学生活动】

独立完成,选代表讲解.

五、运用新知,深化理解.

1.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米.假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?

【答案】

假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到噪声影响,那么AC=100米.由勾股定理得BC=60米.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离噪声影响,那么AD=100米,BD=60米,∴CD=120米.学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时=时=24秒.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.

本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中,长度计算是一个基本问题,而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形,利用勾股定理已知两边求第三边,我们要掌握好这一有力工具.

【教学反思】

本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题(或数学问题).在实际生活中,很多问题可以用勾股定理解决,而解决这类问题都需要将其转化为数学问题,也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形,找出已知两个量,求出第三个量,或者利用勾股定理建立几个量之间的关系,解决问题时注意让学生动手,画出图形,从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题,比较抽象,注意化“曲”为“平”,让学生动手操作,真正建立立体图形与平面图形之间的联系.