215-2016学年沪教版九年级数学上22.3相似三角形的性质(共2课时)教学设计
第1课时 相似三角形的性质(1)
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.
【过程与方法】
在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.
2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
相似三角形性质定理的探究及应用.
【难点】
综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系.
教学过程
一、复习回顾
师:相似三角形的判定方法有哪些?
学生回答:
师:相似三角形有哪些性质?
生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
师:三角形有哪些相关的线段?
生:中线、高和角平分线.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体课件出示:
已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:==k.
师:这个题目中已知了哪些条件?
生:△ABC和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.
师:我们要证明的是什么?
生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.
师:你是怎样证明的呢?
学生思考,交流.
生:证明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.
师:你怎样证明△ABD和△A'B'D'相似呢?
学生思考后回答:因为△ABC和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.
师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.
学生写出证明过程.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B'.
∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,
∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',
∴==k.
师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.
1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.
求证:==k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',==k.
又∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=BC,B'D'=B'C',
===k,
∴△ABD和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),
∴==k.
2.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.
求证:==k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',∠A=∠A'.
又∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=∠BAC,
∠B'A'D'=∠B'A'C',
∠BAD=∠B'A'D',
∴△BAD∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),
∴==k.
师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.
教师板书:
定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
三、例题讲解,应用新知
【例1】 如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.
当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?
解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,
∴SR∥BC,
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),
∴=(相似三角形对应高的比等于相似比),
即=.
当SR=BC时,得=,解得DE=h.
当SR=BC时,得=,解得DE=h.
【例2】 如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.
师:请同学们思考一下这个问题.
学生思考,计算,交流.
师:我们要怎样用辅助线呢?
教师找一生回答.
生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把△ABC的高AD与PQ的交点记为E.
教师作图.
师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都已知了哪些条件?
生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.
师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?
生:因为PQ∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.
师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.
解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.
∵PQ∥BC.
∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,
∴△APQ∽△ABC.
∴=,
即=.
解方程,得x=24,2x=48.
答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.
四、课堂小结
师:今天你又学习了什么内容?
学生回答.
教学反思
在本节课的教学过程中,我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃,尤其是我让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的体现.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.
第2课时 相似三角形的性质(2)
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.
【过程与方法】
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想.
【情感、态度与价值观】
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
重点难点
【重点】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
【难点】
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
教学过程
一、复习引入
1.回顾相似三角形的概念及判定方法.
2.复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质.
二、新课教授
探究1:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?
学生小组自由讨论、交流,达成共识.
让学生回答结果,给出评价.
设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k,
那么===k
⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1
⇒
==k.
由此我们可以得到:
相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.
用类似的方法,还可以得出:
相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.
探究2:
(1)如图(1),△ABC∽△A1B1C1,相似比为k1,它们的对应高的比是多少?它们的面积比是多少?
通过上节课的学习,我们得到了相似三角形的性质1:相似三角形对应高的比等于相似比.
∴==k1.
由上述结论,我们有:
相似三角形的性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(2)如图(2),四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少?
分析:∵==,
相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.
三、例题讲解
【例1】 如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是12,求△DEF的周长和面积.