215-2016学年沪教版九年级数学上22.1比例线段(共4课时)教学设计
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
教学过程
一、问题引入
活动1:观察图片,体会开关相同的图形.(多媒体出示)
师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么?你能对观察到图片特点进行归纳吗?
生:这些图形的开关相同,而大小不同.
二、新课教授
活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗?
生:形状不同.
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.
教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.
形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
活动3:探究.
如图(1)的两个正方形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
如图(2)的两个等边三角形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;
(3)当相似比为1时,两个多边形全等.
三、例题讲解
【例1】 如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.
师生活动.
教师出示例题,提出问题.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.
解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,
∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得
=,即=.
解得:x=28(cm).
【例2】 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.
分析:因?两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,
∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.
四、巩固练习
1.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离,
【答案】3 000 km
2.如图所示的两个直角三角形相似吗?为什么?
【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.
3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.
【答案】a=3,b=,c=4,d=6.
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
教学反思
本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第2课时 成比例线段(1)
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.
重点难点
【重点】
认识成比例的线段.
【难点】
理解成比例线段的概念.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗?
生:学习了相似多边形.
师:是的,你能说说什么是相似多边形吗?
生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.
师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.
二、讲授新课
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
活动:如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生考虑如何求得这两条线段的比.
学生求出的值不唯一,只要方法恰当,教师都要给予肯定.
1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.
2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
注意:(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;
(2)线段的比是一个没有单位的正数;
(3)四条线段a、b、c、d成比例,记作=或a∶b=c∶d;
(4)若四条线段满足=,则有ad=bc;
(5)如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么=.
三、例题讲解
【例1】 如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是( )
解:C
【例2】 一张桌面长a=1.25 m,宽b=0.75 m,那么长与宽的比是多少?
小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.
【例3】 已知:一张地图的比例尺是1∶32 000 000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5 cm,北京到上海的实际距离大约是多少km?
分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.
解:设北京到上海的实际距离大约是x cm.
则=,得x=112 000 000(cm).
又112 000 000 cm=1 120 km.
答:北京到上海的实际距离大约是1 120 km.
【例4】 如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的一面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少?
解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m.
由=,得
即a2=1,
∴a2=3.
开平方,得a=(a=-舍去).
四、课堂小结
本节课主要学习了:
成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.
教学反思
本节课是在上节课的基础上认识成比例线段,理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证,让学生在研究过程中渗透数学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第3课时 成比例线段(2)
教学目标
【知识与技能】
1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.
2.会辨认比例式中的“项”.
3.会求常见图形中的线段比.
4.会进行黄金分割的有关计算.
【过程与方法】
1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.
2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.
3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.
【情感、态度与价值观】
在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.
【难点】
比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?
学生作图后测量并求出比值.
师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
二、探究新知
师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?
生:两边同乘以bd,得到ad=bc.
师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?
生:能,两边同除以bd.
师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.
教师多媒体课件出示:
师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?
学生思考,讨论.
师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?
生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.
师:现在就请同学们算一下是否相等.
学生计算后回答:相等.
师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?
学生思考,讨论.
生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.
师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?
教师提示:我们可以倒着推:
要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?
学生思考后回答:能.
师:怎么证明?
生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.
师:现在你知道怎么证明=了吗?
生:知道了.
师:请同学们想想有没有其他的证法?
学生思考.
教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?
学生思考,讨论.
师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?
生:能.
师:怎样表示?
生:a1=b1k,a2=b2k.
师:你知道怎样证明了吗?
生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.
师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?
学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.
生1板书:
证明:∵=(已知),
两边同乘以得
∴=(合比性质).
两边同乘以得
两边取倒数,得=,
生2板书:设==k,得
a1=b1k,a2=b2k,代入得
师:你能总结一下以上两种方法吗?
生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.
师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+bn≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?
生:能.
教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.
师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+bn≠0,那么=.