第1课时　反比例函数

教学目标

【知识与技能】

1.理解反比例函数的概念,能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式,体会函数的模型思想.

【过程与方法】

从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.

【情感、态度与价值观】

通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.

重点难点

【重点】

反比例函数的概念和应用.

【难点】

理解反比例函数的含义.

教学过程

一、复习回顾

师:什么是正比例函数?它的两个变量之间有什么关系呢?

学生回答.

教师多媒体课件出示:

1.下列函数中,哪些是正比例函数?

(1)y=3x-1;　(2)y=x²;　(3)y=3x;

(4)y=-;　(5)y=;　(6)x=;

(7);　(8)y=.

学生回答.

教师多媒体课件出示:

2.观察下列函数,它们有什么特点?

(1)-y=-;　(2)y=;

(3)y=;　(4)y=.

生:……

师:我们知道正比例函数都可以写成y=kx的形式,这些函数呢?它们都可以写成哪种形式?

生:写成y=(k为常数,且k≠0)的形式.

二、共同探究,获取新知

1.给出定义.

师:我们把这个等式进行变形,两边同乘以x,就变为xy=k,因为k为常数,所以x和y的乘积是一定的,这就是我们小学学过的反比例关系.

教师板书:

一般地,函数y=(k为常数,且k≠0)叫做反比例函数.

教师多媒体课件出示:

(1)下列选项中,两个变量之间的关系为反比例关系的是(　　)

A.匀速行驶的过程中,行驶的路与时间的关系

B.体积一定,物体的质量与密度的关系

C.质量一定,物体的体积与密度的关系

D.长方形的长一定,它的周长与宽的关系

(2)京沪高速公路全长约为1 262 km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的反比例函数吗?

(3)三角形的面积为6,它的底y与底边上的高x之间的函数关系式为　　　　. 

教师找三生回答.

2.例题讲解.

【例1】　已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系.当施工人数为4时,10天能完成这项工程.现要求8天完成这项工程,应选派多少人去施工?

师:你知道这种问题应该怎么解决吗?

生:知道,用待定系数法.

师:具体的思路是什么呢?

生:先求出y与x之间的函数关系式,然后把天数代入,求出人数.

师:这里哪两个量是成反比例的 ?

生:人数y与时间x天.

师:那么我们可以怎样它们之间的关系?

生:设y=.

师:然后怎么做呢?

教师找一生回答.

生:当x=10时,y=4,代入上式,得k=40,即y=.将x=8代入上式,得y==5.

师:你回答得太好了!因此,当要求8天完成这项工程时,应选派5个人去施工.

【例2】　在压力不变的情况下,某物体承受的压强pPa是它的受力面积Sm²的反比例函数,如图.

(1)求p与S之间的函数表达式;

(2)当S=0.5时,求物体承受的压强p的值.

解:(1)根据题意,设p=.

函数图象经过点(0.1,1 000),代入上式,得1 000=.

解方程,得

k=100.

答:p与S之间的函数表达式为

p=(p>0,S>0).

(2)当S=0.5时,p==200.

答:当S=0.5时,物体承受的压强p的值为200.

三、练习新知,加深理解

教师找两生板演教材第44页练习的第2题,其余同学在下面做,然后集体订正,得到:

解:(1)设ρ=,把V=10,ρ=1.43代入这个式子得到k=14.3,所以ρ与V之间的函数关系式为:ρ=;

(2)把V=2代入上式,得ρ==7.15.所以当V=2 m³时,氧气的密度ρ为7.15 kg/m³.

教师多媒体课件出示:

1.某村有耕地200 hm²,人口数量x逐年发生变化,该村人均耕地面积y hm²与人口数量x之间有怎样的关系?

2.某市距省城248 km,汽车由该市驶往省城,汽车行驶全程所需的时间t h与行驶的平均速度v km/h之间有怎样的关系?

3.当电压U一定时,通过电阻的电流I与电阻的阻值R之间有怎样的关系?

师:请同学们看这几个问题,你能得到题中两个量之间的关系吗?

学生读题,思考.

教师找三生回答,然后集体订正得到:

1.y=;　2.t=;　3.I=.

教师多媒体课件出示:

为建设社会主义新农村,某地方政府准备修建一条连接各村庄的水泥路.修路时需要运输的土石方总量为1.2×10⁸ m³,某运输承接了这项运输土石方的任务.

(1)请写出运输公司平均每天的工作量y(m³/天)与完成运输任务所需的时间t(天)之间的函数关系式;

(2)这个运输公司共有100辆汽车,每天一共运送土石方6×10⁵ m³,那么该公司完成全部运输任务需要多长时间?

教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

四、课堂小结

师:通过本节课的学习,你有什么收获?

学生回答.

教学反思

在这节课中,我认为最成功之处是比较充分地调动了学生的积极性、主动性.通过让学生回忆正比例函数,然后引出与它相反的反比例函数,用它们的对比吸引了学生的注意力,充分引发了学生学习的兴趣,从而使得这节课能得以发挥.由于学生的兴趣得以激发,所以在教授新课的过程中,师生得以互动.这节课让学生得到了一个良好的自主学习的环境,整节课学生积极举手发言,场面比较热烈.在课程设计中,将反比例函数比较数学化的问题实际化,从实际出发又回到实际也是比较合理的.由于现在学生知识面的扩大,数学教学应该为实际服务越来越被大家接受,因此我认为联系实际是很重要的.

 

第2课时　反比例函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

1.知道反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画反比例函数的图象,说出它的性质.

2.能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题.

【过程与方法】

1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,总结出它的性质.

2.探索反比例函数的图象的性质,体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法.

【情感、态度与价值观】

调动学生的主观能动性,积极参与数学活动,培养合作、交流意识,提高观察、分析、抽象的能力.

重点难点

【重点】

反比例函数的图象和性质.

【难点】

反比例函数图象的画法及其性质的归纳.

教学过程

一、回顾交流,问题牵引

教师多媒体课件出示:

1.什么叫做反比例函数?下列函数中哪些是反比例函数?

y=,y=-,y=6x+,y=-4x+1.

反比例函数的定义中需要注意什么?

2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,那么反比例函数的图象是什么样的呢?

3.画函数图象的一般步骤是什么?

师:请同学们回答以上问题.

学生抢答.

二、师生互动,探求新知

?:下面我们来画一个反比例函数y=的图象.它的取值范围是什么呢?

生:x≠0.

师:对,所以我们取x的值时,应取不等于0的数.请同学们根据作图的一般步骤作出这个函数的图象.

学生作图,教师巡回指导.

师:你能说出这个图象的特征吗?

生甲:它的图象在一、三象限.

生乙:在每个象限内,函数值y随x值的增大而减小.

师:图象与坐标轴有交点吗?

学生观察后回答,图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但永远不与它们相交.

师:你能根据它的表达式分析一下出现这种现象的原因吗?

学生交流、讨论.

师:一条线若与x轴相交,交点的纵坐标为多少?

生:为0.

师:若与y轴相交,交点的横坐标呢?

生:为0.

师:那表达式的图象不会与x轴和y轴相交,说明了什么?

生:x和y都不能为0.

师:你们太聪明了!你能说说为什么x和y都不能为0吗?

学生讨论.

生:因为y=变形后是xy=6,若x、y中有一个为0,则它们的积就是0了.

师:对,你分析得太好了!这个图形的形状有什么特点呢?

生:……

师:如果点P(x₀,y₀)在函数y=的图象上,那么,与点P关于原点成中心对称的P'的坐标应是什么?

生:(-x₀,-y₀).

师:这个点在函数y=的图象上吗?

学生思考后回答:在.

师:为什么?

生:因为当(x₀,y₀)在这个图象上时,有y₀=,即x₀y₀=6,所以(-x₀)(-y₀)=6,-y₀=,所以(-x₀,-y₀)也在y=的图象上.因此,你能得到什么结论?

生:y=的图象关于原点成中心对称.

师:现在请同学们在同一平面坐标系中画出反比例函数y=-与y=的图象,然后观察这两个图象,看它们之间有什么关系?

学生作图.

师:观察函数y=-和y=的图象,你能发现它们的共同特征以及不同点吗?每个图象的象限分别位于哪几个象限?在每个象限内,y随x的变化如何变化?

学生观察图象后回答.

师:请同学们在课本第46页图21-29中画出函数y=-的图象.

学生作图.

三、归纳与概括

师:观察并比较函数y=与y=-的图象,你能分别就k>0和k<0两种情况总结反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗?

师生一起总结出:

反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗?

师生一起总结出:

反比例函数y=(k为常数,且k≠0)有下列性质:

(1)当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;

(2)当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.

师:同学们都总结得不错!下面让就我们一起用刚才总结出来的规律来解决几个问题.

教师读题,学生在下面思考.

1.已知点M(-2,3)在双曲线y=上,则下列各点一定在该双曲线上的是(　　)

A.(3,-2)　　　　　　B.(-2,-3)

C.(2,3)      D.(3,2)

【答案】A

2.若A(a₁,b₁),B(a₂,b₂)是反比例函数y=图象上的两个点,且a₁<a₂,则b₁与b₂的大小关系是(　　)

A.b₁<b₂    B.b₁=b₂

C.b₁>b₂    D.不能确定

【答案】D

3.已知A是反比例函数y=上的一点,自点A向y轴作垂线,垂足为T.若S_△AOT=3,则此函数的关系式为　　　　. 

【答案】y=±

4.直线y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为C,则△ABC的面积为　　　　. 

【答案】4

5.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小.

(1)求k的取值范围;

(2)在曲线上取一点A,分别向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为O,若四边形ABOC的面积为6,求k的值.

【答案】(1)∵在图象的每条曲线上,y随x的增大而减小,∴k>0;

(2)设A(x₀,y₀),则由已知应有|x₀y₀|=6,即|k|=6,又∵k>0,∴k=6.

四、应用所学,解决问题

【例】　已知反比例函数y=.

(1)如果这个函数的图象经过点(-3,5),求k的值;

(2)如果这个函数的图象在它所处的象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.

解:(1)因为函数的图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得

5=.

解方程,得k=-7.

(2)根据题意,有2k-1>0.

解不等式,得k>.

师:下面我们通过进一步的练习巩固反比例函数的性质:

1.在某一电路中,保持电压U不变,电流I(安培)与电阻R(欧姆)之间的关系是:U=IR,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培,则电流I(安培)是电阻R(欧姆)的　　　　函数,且I与R之间的函数关系式是　　　　. 

师:请大家交流后回答.

生:电流I(安培)是电阻R(欧姆)的反比例函数,关系式为I=.

师:回答正确,很好!下面请大家再思考一个问题:

2.已知△ABC的面积为12,则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为　　　　. 

生:h=.

师:回答正确,同学们掌握得都很好!继续思考下面的问题:

3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限,那么m的取值范围为　　　　. 

生:由1-3m<0,

得-3m<-1,

∴m>.

4.已知点A(-2,y₁),B(-1,y₂)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y₁与y₂的大小关系(从大到小)为　　　　. 

生:y₂>y₁.

师:好!通过上面几道题的练习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么我们更上一层楼,思考下面几道题:

1.若点P是反比例函数y=的图象上的一点,PD⊥x轴于D,则△POD的面积为　　　　. 

2.三个反比例函数在x轴上方的图象,y₁=,y₂=,y₃=.由此得到(　　)

A.k₁>k₂>k₃        B.k₃>k₂>k₁

C.k₂>k₁>k₃        D.k₃>k₁>k₂

师:大家可以独立完成此题,如有困难再进行交流.

学生交流、讨论.

师:请同学们举手回答.

生:第1题答案为1.

师:请你解释一下.

生:因为反比例函数的表达式又可以写成xy=k,即图象上的点的横、纵坐标的积就是k的值,由题意得xy=2.又xy=S_△POD,∴S_△POD=1.

师:回答正确!哪位同学业来回答第2题?

生:由反比例函数的性质可知,k₂>k₁,又k₃>k₂,所以k₃>k₂>k₁,答案为B.

师:很好!通过这节课的学习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么下面同学们能不能自己出两个有关反比例函数的问题?写出函数表达式,与同伴进行交流.

师生互动,交流.

五、课堂小结

师生总结回顾本节课所学的内容.

反比例函数的图象和性质:

形状:反比例函数的图象称为双曲线;

位置:当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;

当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内;

增减性:当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.

图象的发展趋势:反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.

对称性:反比例函数y=的图象关于坐标原点对称.

教学反思

本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.