第1课时　二次函数的应用(1)

教学目标

【知识与技能】

能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.

【过程与方法】

1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.

2.在数学建模中使学生学会交流、合作.

【情感、态度与价值观】

培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.

重点难点

【重点】

用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题.

【难点】

建立二次函数的数学模型.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:二次函数有哪些性质?

学生回忆.

教师提示:结合函数的图象.

生:y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.

师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.

二、共同探究,获取新知

教师多媒体课件出示:

某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm².那么,S与x之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米?

学生交流、讨论.

生:S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该取图象顶点的横坐标.

师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢?

生甲:配方,变为顶点式求出.

生乙:直接用顶点横坐标的公式x=-.

师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.

学生计算后回答.

生:将这个函数关系式配方,得

S=-(x-10)²+100(0<x<20)

显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10m时,函数取得最大值,最大值为S_最大值=100m².

这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m².

教师多媒体课件出示:

某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大?

师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少?

学生思考、计算.

生:销售额为(10+x)(50-5x).

师:进货额为多少?

生:进货额为8(50-5x).

师:利润呢?

生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x).

师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢?

学生思考.

生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.

师:思路是对的,具体的式子是什么呢?

生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x).

师:变量x的取值范围怎么确定?

生:x≥0且应满足50-5x>0,因为数量应为正值.

师:如何求得涨价多少利润最大呢?

生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.

师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢?

学生思考,交流.

教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛物线的对称轴有什么关系?

学生作图后观察.

生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧.

师:在一侧,y是不是随x的变化而变化?

生:是.

师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润?请同学们分别回答下列情形时的式子.

教师多媒体课件出示:

售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元

1.售价为x元时的销售额s为多少?利润f为多少?

教师找一生回答.

教师板书:

s=x(m-n),f=(x-r)(m-n)

2.涨价x元时的销售额s为多少?

教师找一生回答.

教师板书:

s=(a+x)(m-n),f=(a+x-r)(m-n)

教师多媒体课件出示:

如图(1),悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.

(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2),求这条抛物线对应的函数表达式;

(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长.

解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为

y=ax²+0.5.

抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得

81.5=a·450²+0.5.

解方程,得

a==.

答:所求抛物线对应的函数表达式为

y=x²+0.5(-450≤x≤450).

(2)当x=450-100=350(m)时,得

y=×350²+0.5=49.5(m).

当x=450-50=400(m)时,得

y=×400²+0.5=64.5(m).

答:距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.

三、练习新知

教师找两生分别板演教材第36页练习的1、2题,然后集体订正.

教师引导学生完成教材第41页练习的第2题.

师:接受能力逐步增强的表现是什么?

生:y值逐渐增大.

师:对.那么问题是x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强,就是说x在什么范围内,y的值逐渐增大?类似地,我们可以把问题x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低转化为什么?

生:x在什么范围内,y的值逐渐减小?

教师找一生回答:你怎么求解这个问题呢?

生:我们知道二次项系数-0.1是小于0的,抛物线开口向下,求出抛物线的对称轴,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

师:那么对称轴怎么求呢?

生:可用配方法或者用公式x=-求.

师:很好!

教师找另外两位同学回答第(2)(3)问,然后集体订正.

师:同学们,通过刚才的学习,你们掌握得怎么样呢?我现在出几个问题来检测一下你们,好不好?

教师多媒体课件出示:

1.某商店销售一种品牌衬衣,若这种衬衣每天所获得的利润y元与衬衣的销售单价x元之间满足关系式y=-x²+50x+500.若要想每天获得最大利润,则单价应定为(　　)

A.20元　　B.25元　　C.30元　　D.40元

【答案】B

2.一个小球以20m/s的速度从地面竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=20t-5t²,则当h=20m时,小球的运动时间为(　　)

A.20s　　　　　　　　B.2s

C.(2+2)s   D.(2-2)s

【答案】B

3.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x=　　　　元时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大. 

【答案】3

4.某商场经营某种品牌玩具,已知成批购进时单价是2.5元,现根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析销售单价是多少元时,可以获利最多?

如果设销售单价为x(x≤13.5)元,那么:

(1)销售量可以表示为　　　　; 

(2)销售额可以表示为　　　　; 

(3)所获利润可以表示为　　　　; 

(4)当销售单价x是　　　　元时,可以获得最大利润,最大利润是　　　　元. 

【答案】(1)3200-200x　(2)3200x-200x²

(3)-200x²+3700x-8000　(4)9.25　9112.5

师:请同学们认真思考这几个问题,然后在草稿纸上完成.

教师巡视,对有疑问的学生进行指导.

四、课堂小结

师:本节课你学习了什么内容,有什么收获?

学生回答.

师:你还有什么不明白的地方?

学生提问,教师解答.

教学反思

二次函数历来是初三学生要重点掌握的数学知识,尤其是二次函数的最值问题及在生活中的应用,更是中考尤其是压轴题中常见的题型.二次函数在知识上的难度较大,且具有特殊地位,二次函数的应用中渗透了数学建模的思想,使学生感受实际生活中的相关量之间的二次函数关系,并且通过求利益最大化的实例让学生再一次感受到了数学的实用性.在求利润时,因为有些问题比较相似,为避免学生混淆,我强调了不同问题的区别.在求最值时,在实际问题的最值点可能不是函数在全体实数范围内的极值点求到的,所以要学生注意自变量的取值范围.

 

第2课时　二次函数的应用(2)

教学目标

【知识与技能】

通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.

【过程与方法】

1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.

2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.

【情感、态度与价值观】

培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.

重点难点

【重点】

根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.

【难点】

建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.

教师多媒体课件出示:

一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?

你能求出来吗?

二、共同探究,获取新知

师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢?

学生思考,讨论.

生:建立坐标系.

师:你怎么建立呢?

生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系.

生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系.

师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢?

学生讨论,交流.

生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.

师:为什么?

生:因为这样的表达式是y=ax²的形式,比较简单.

师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗?

学生作图、计算.

教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件?

生:当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.

师:这个条件怎么用呢?

生:把x==0.8,y=-2.4代入y=ax²,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.

师:很好!我们再看一个例子.

【例1】　上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:

h=v₀t-gt²,

其中h是物体上升的高度,v₀是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10 m/s²),t是物体抛出后经过的时间.

在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.

(1)问排球上升的最大高度是多少?

(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s)

解:(1)根据题意,得

h=10t-×10t²

=-5(t-1)²+5(t≥0).

因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).

答:排球上升的最大高度是5 m.

(2)当h=2.5 m时,得

10t-5t²=2.5

解方程,得

t₁≈0.3(s),t₂≈1.7(s).

排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.

答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.

教师多媒体课件出示: