1.4　有理数的加减

第1课时　有理数的加法(1)

教学目标

【知识与技能】

使学生了解有理数加法的意义,理解有理数加法的法则,能熟练地进行有理数加法运算.

【过程与方法】

在有理数加法法则的导出和运用过程中,注意培养学生独立分析问题和口头表达以及运用数形结合的方法解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

通过观察、归纳、比较,体验数学学习交流的探索性和创造性,在运用知识解决问题时体验成功的喜悦.

教学重难点

【重点】有理数加法法则.

【难点】异号两数相加的法则.

教学过程

一、复习导入

1.师:同学们,在小学里我们已经学过了正整数、正分数(包括正小数)及数0的四则运算.现在引入了负数,数的范围扩大到了有理数,那么如何进行有理数的运算呢?

2.问题:

一位同学沿着一条东西向的跑道,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,相距多少米?

我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.可是上述问题得不到确定的答案,因为问题中并未指出行走方向.

二、讲授新课

1.发现、总结:

师:同学们,我们必须把问题说得详细些,并规定向东为正,向西为负.

(1)若两次都是向东走,很明显,一共向东走了50米,写成算术就是:(+20)+(+30)=+50,即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图:

(2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西方50米处,写成算式就是:(-20)+(-30)=-50.

思考:还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?

(3)若第一次向东走20米,第二次向西走30米.我们先在数轴上表示如图:

写成算式是(+20)+(-30)=-10,即这位同学位于原来位置的西方10米处.

(4)若第一次向西走20米,第二次向东走30米,写成算式是:(-20)+(+30)=(　　),即这位同学位于原来位置的(　　)方(　　)米处.

后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号),所得和的符号似乎不能确定,让我们再试几次:

你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?

(+4)+(-3)=(　　);　(+3)+(-10)=(　　);

(-5)+(+7)=(　　);　(-6)+2=(　　).

再看两种特殊情形:

(5)第一次向西走了30米,第二次向东走了30米.写成算式是:(-30)+(+30)=(　　).

(6)第一次向西走了30米,第二次没走.写成算式是:(-30)+0=(　　).我们不难得出它们的结果.

2.概括.

师:综合以上情形,我们得到有理数的加法法则:

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

(3)互为相反数的两个数相加得0;

(4)一个数同0相加,仍得这个数.

注意:

一个有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.

三、例题讲解

教师出示例题.

【例1】　计算:

(1)(+2)+(-11);　　(2)(+20)+(+12);

(3)(-1)+(-);         (4)(-3.4)+4.3.

【答案】　(1)原式=-(11-2)=-9;

(2)原式=+(20+12)=+32=32;

(3)原式=-(1+)=-2;

(4)原式=+(4.3-3.4)=0.9.

【例2】　足球循环赛中,红队胜黄队4∶1,黄队胜蓝队1∶0,蓝队胜红队1∶0,计算各队的净胜球数.

分析　(1)每队进球总数记为正,失球总数记为负,这两个数的和为该队的净胜球数.

(2)比赛双方中一方的进球数也是对方的失球数.三场比赛中,红队共进　　　　球,失　　　　球,净胜数为　　　　+　　　　=　　　　;黄队共进　　　　球,失　　　　球,净胜球数为　　　　+　　　　=　　　　;蓝队共进　　　球,失　　　　球,净胜球数为　　　　+　　　　=　　　　. 

四、巩固练习

课本P₁₉练习的第1、2题.

【答案】　略

五、课堂小结

1.这节课我们从实例出发,经过比较、归纳,得出了有理数加法的法则.今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题.

2.应用有理数加法法则进行计算时,要同时注意确定“和”的符号与计算“和”的绝对值这两个问题.

 

第2课时　有理数的加法(2)

教学目标

【知识与技能】

理解加法运算律在加法运算中的作用,能运用加法运算律简化加法运算.

【过程与方法】

通过灵活运用加法运算律优化运算过程,培养学生观察、比较、归纳及运算的能力.

【情感、态度与价值观】

在优化运算的过程中体验成功的喜悦,培养仔细观察的学习习惯.

教学重难点

【重点】有理数加法运算律.

【难点】灵活运用运算律使运算简便.

教学过程

一、复习导入

师:上节课我们学习了什么,一起来复习一下吧!

1.指名学生叙述有理数加法法则.

2.计算:(1)6.18+(-9.18);

(2)(+5)+(-12);

(3)3.75+2.5+(-2.5);

(4)+(-)+(-)+(-).

说明:通过练习巩固加法法则,突出计算简化问题,引出新课.

二、讲授新课

1.发现、总结.

(1)提出问题:

师:同学们,在小学里,我们曾经学过加法的交换律、结合律,这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗?

(2)探索:

任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个算式的运算结果.

□+○和○+□

任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.

(□+○)+◇和□+(○+◇)

(3)总结:

让学生总结出加法的交换律、结合律.

加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.

加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).

这样,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可先把其中的几个数相加,使计算简化.

三、例题讲解

教师板书例题并和学生共同完成.

【例1】　计算:

(1)(+26)+(-18)+5+(-16);

(2)(-1)+1+(+7)+(-2)+(-8).

【答案】　(1)原式=(26+5)+[(-18)+(-16)]=31+(-34)=-(34-31)=-3.

(2)原式=[(-1)+(-2)]+[1+(-8)]+7=(-4)+(-7)+7=(-4)+[(-7)+7]=(-4)+=-(4-)=-3.

从几个例题中你能发现应用运算律时,通常将哪些加数结合在一起,能使运算简便吗?

【例2】　运用加法运算律计算下列各题:

(1)(+66)+(-12)+(+11.3)+(-7.4)+(+8.1)+(-2.5);

(2)(+3)+(-2)+(-3)+(-1)+(+5)+(+5);

(3)(+6)+(+)+(-6.25)+(+)+(-)+(-).

分析　利用运算律将正、负数分别结合,然后相加,可以使运算比较简便;有分数相加时,利用运算律把分母相同的分数结合起来,将带分数拆开,计算比较简便.一定要注意不要遗漏括号.相加的若干个数中出现了相反数时,先将相反数结合起来抵消掉,或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉,这样计算比较简便.

【答案】　(1)原式=(66+11.3+8.1)+[(-12)+(-7.4)+(-2.5)]=85.4+(-21.9)=63.5.

(2)原式=(3+)+(5+)+[-(2+)]+[-(1+)]+(5+)+[-(3+)]

=3+5+++(-2)+(-1)+(-)+(-)+5+(-3)++(-)=7.

(3)原式=(+6)+(-6.25)+(+)+(-)+(-)=-.

【例3】　10袋小麦的质量(单位:kg)分别如下:91,91,91.5,89,91.2,91.3,88.7,88.8,91.8,91.1,这10袋小麦一共多少kg?如果每袋小麦以90kg为标准,10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg?

【解】　91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(kg).

90×10=900(kg),905.4-900=5.4(kg).

答:这10袋小麦一共905.4kg.如果每袋小麦以90kg为标准,10袋小麦总计超过5.4kg.

四、巩固练习

课本P₂₀练习的第4、5题.

【答案】　略

 

五、课堂小结

师引导学生小结:

三个以上的有理数相加,可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置,简化运算.常见技巧有:

1.凑零凑整:互为相反数的两个数结合先加;和为整数的加数结合先加.

2.同号集中:按加数的正负分成两类分别结合相加,再求和.

3.同分母结合:把分母相同或容易通分的结合起来.

4.带分数拆开:计算含带分数的加法时,可将带分数的整数部分和分数部分拆开,分别结合相加.注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.

 

第3课时　有理数的减法

教学目标

【知识与技能】

理解并掌握有理数减法法则,会进行有理数的减法计算.

【过程与方法】

1.经历由特例归纳出一般规律的过程,培养学生的抽象概括能力及表达能力.

2.通过减法到加法的转化,让学生初步体会化归的数学思想.

【情感、态度与价值观】

使学生感受事物之间的相互联系,培养他们的辩证唯物主义的思想.

教学重难点

【重点】有理数减法法则.

【难点】法则本身的推导和理解.

教学过程

一、复习导入

师:同学们,上课之前老师先问你们几个问题,看大家对上节课的知识掌握得怎么样.

1.指名学生叙述有理数的加法法则.

2.计算:(1)(-2)+(-6);(2)(-8)+(+6).

3.问题:

在月球表面,“白天”的温度可达127℃,太阳落下后的“月夜”气温竟下降到-183℃,请问在月球上温差是多少度?(310℃.)

通过分析启发学生应该用减法计算上题,从而引出新课.

二、讲授新课

1.发现、总结.

(1)回忆:

师:同学们,我们知道,已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算叫做减法.

例如计算(-8)-(-3)也就是求一个数,使这个数与-3相加等于-8.根据有理数加法运算法则,有(-5)+(-3)=-8,所以(-8)-(-3)=-5.①

减法运算的结果得到了.

试一试:再做一个填空:(-8)+(　　)=-5,容易得到(-8)+(+3)=-5.②

比较①、②两式,我们发现:-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的.

(2)再试一次:10-6=(4),10+(-6)=(4),得10-6=10+(-6).

(3)概括:上述两例启发我们可以将减法转化为加法来进行计算.

有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

如果用字母a、b表示有理数,那么有理数减法法则可表示为:a-b=a+(-b).

三、例题讲解

【例1】　计算:

(1)(-32)-(+5);　(2)7.3-(-6.8);

(3)(-2)-(-25);　(4)12-21.

【答案】　(1)(-32)-(+5)=-32-5=-37.

(2)7.3-(-6.8)=7.3+6.8=14.1.

(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23.

(4)12-21=12+(-21)=-9.

【例2】　某次法律竞赛中规定:抢答题答对一题得20分,答错一题扣10分,答对一题与答错一题得分相差多少分?

【答案】　20-(-10)=20+10=30(分),

即答对一题与答错一题相差30分.

四、巩固练习

课本P₂₁~P₂₂练习的第1~4题.

【答案】　略

 

 

五、课堂小结

1.教师指导学生阅读教材后强调指出:

由于把减数变为它的相反数,从而减法转化为加法.有理数的加法和减法,把引进负数后就可以统一用加法来解决.

2.不论减数是正数、负数或是零,都符合有理数减法法则.在使用法则时,注意被减数不变.

 

第4课时　有理数的加减混合运算

教学目标

【知识与技能】

理解有理数的加减法可以互相转化,并了解代数和概念.

【过程与方法】

让学生进一步体会到有理数减法可以转化为加法进行计算,能熟练地进行有理数的加减混合运算,并体会在实际中的应用.

【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象、概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生积极主动参与的学习习惯.

教学重难点

【重点】能准确迅速地进行有理数的加减混合运算.

【难点】将减法直接转化为加法及混合运算的准确性.

教学过程

一、复习导入

师:同学们,我们先一起来回顾一下前面所学的知识.

教师指名学生说出:

1.叙述有理数加法法则.

2.叙述有理数减法法则.

3.叙述加法的运算律.

4.符号“+”和“-”各表达什么意义?

5.指名化简:+(+3);+(-3);-(+3);-(-3).

6.学生口算:

(1)2-7;　　　　　　　(2)(-2)-7;

(3)(-2)-(-7);        (4)2+(-7);

(5)(-2)+(-7);       (6)7-2;

(7)(-2)+7; (8)2-(-7).

二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课.

1.加减法统一成加法算式.

以上口算题中(1),(2),(3),(6),(8)都是减法,按减法法则可写成加上它们的相反数.同样,(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6),这样便把加减法统一成加法算式.几个正数或负数的和称为代数和.

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7).既然都可以写成代数和,正号可以省略,每个括号都可以省略,如:(-11)+(-7)+(-9)-(-6)=-11-7-9+6,读作“负11、负7、负9、正6的和”,运算上可读作“负11减7减9加6”;16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7,读作“正16、正2、负4、正6、负7的和”,运算上读作“16加2减4加6减7”.

2.加法运算律的运用:

既然是代数和,当然可以运用有理数加法运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).

三、例题讲解

【例1】　把(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)写成省略正号的和的形式,并把它读出来.

【答案】　原式=(+)+(-)+(-)+(+)+(-1)=--+-1=-1.

读作:“、-、-、、-1的和”.

【例2】　计算:

(1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2;

(2)+(-)--(-).

【答案】　(1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2

=(+7)+(-8)+(-3)+(+6)+2(减法法则)

=(7+6+2)+(-8-3)(加法交换律、结合律)

=15-11=4.

(2)+(-)--(-)

=+(-)+(-)+(+)(减法法则)

=(+)+(--)(加法交换律、结合律)

=-=.