1.2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
教学目标
【知识与技能】
使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数,知道有理数都可以用数轴上的点表示.
【过程与方法】
在探索数轴画法的过程中,鼓励学生类比、猜想,初步理解数与形的结合.
【情感、态度与价值观】
向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想.
教学重难点
【重点】初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.
【难点】正确理解有理数与数轴上点的对应关系.
教学过程
一、复习导入
师:在上课之前老师先提几个问题,看大家学得怎样.
1.有理数包括哪些数?0是正数还是负数?
2.温度计的用途是什么?类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些(直尺、弹簧秤等)?
教学中,在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.
演示从温度计抽象成数轴,激发学生学习的兴趣,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,同时把类比的思想方法贯穿于概念的形成过程.
二、讲授新课
1.师:请同学们阅读课本第7页,思考并讨论:
(1)25℃用正数 表示;0℃用数 表示;零下10℃用负数 表示.
(2)数轴要具备哪三个要素?
(3)原点表示什么数?原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?
(4)表示+2的点在什么位置?表示-3的点在什么位置?
(5)原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左1个单位长度的B点表示什么数?
2.数轴的画法.
师生共同总结数轴的画法步骤:
第一步:画一条直线(通常是水平的直线),在这条直线上任取一点O,叫做原点,用这点表示数0(相当于温度计上的0℃);
第二步:规定这条直线的一个方向为正方向(一般取从左到右的方向,用箭头表示出来).相反的方向就是负方向(相当于温度计0℃以上为正,0℃以下为负);
第三步:适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右面取一点表示1,0与1之间的长就是单位长度(相当于温度计上1℃占1小格的单位长度).
在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示1,2,3,……,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-1,-2,-3,…….
3.数轴的定义.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的选择、单位长度大小的确定,都是根据需要人为规定的,此外,直线也不一定是水平的.
动态演示各种类型的数轴,认识并掌握判断一条直线是不是数轴的依据.
三、例题讲解
师:同学们,下面我们一起来做几个例题.
【例1】 判断下图中所画的数轴是否正确;如不正确,指出错在哪里.
分析 原点、正方向、单位长度,数轴的这三要素缺一不可.
【答案】 都不正确,(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4)单位长度不一致.
【例2】 说出下图所示的数轴上A、B、C、D各点表示的数.
【答案】 点C在原点表示0,点A在原点左边与原点距离2个单位长度,故表示-2.同理,点B表示-3.5.点D在原点右边与原点距离2个单位长度,故表示2.
【例3】 把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:
(1)2,-1,0,-3,+3.5;
(2)-5,0,+5,15,20;
(3)-1 500,-500,0,500,1 000.
【答案】 略.
四、课堂小结
教师引导学生小结:
1.数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了一一对应的关系,它揭示了数与形之间的内在联系;所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但并不是数轴上的所有点都表示有理数.
2.画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取,注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列顺序(尤其是负数)要正确.
第2课时 相反数
教学目标
【知识与技能】
1.使学生了解互为相反数的几何意义.
2.会求一个已知数的相反数;会对含有多重符号的数进行化简.
【过程与方法】
培养学生的观察、归纳与概括的能力,渗透数形结合思想.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生积极参与、善于与他人合作交流的学习习惯.
教学重难点
【重点】理解相反数的代数定义与几何定义,熟练地求出一个已知数的相反数.
【难点】多重符号的数的化简问题的理解.
教学过程
一、复习导入
师:同学们,在上课之前,老师先出几个题目考考大家.
1.在数轴上分别找出表示下列各数的点:
6与-6,-3与3,-1.5与1.5.
想一想:在数轴上,表示每对数的点有什么相同?有什么不同?
2.观察数6与-6,-3与3,-1.5与1.5有何特点.观察每组数所对应的两个点的位置关系有什么规律.
学生归纳:每组中的每个数只有符号不同,它们所对应的两点分别在原点的两侧,到原点的距离相等.
二、讲授新课
师:下面我们一起来学习新课.
1.发现并总结相反数的定义.
只有符号不同的两个数称互为相反数.
理解:
代数定义:只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0.
几何定义:在数轴上原点两旁,与原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数.0的相反数是0.
说明:“互为相反数”的含义是相反数是成对出现的,因而不能说“-6是相反数”.“0的相反数是0”是相反数定义的一部分.这是因为0既不是正数,也不是负数,它到原点的距离就是0,0是唯一的相反数仍等于它本身的数.
三、例题讲解
教师出示例题.
【例1】 判断下列说法是否正确:
(1)-5是5的相反数.( )
(2)5是-5的相反数.( )
(3)5与-5互为相反数.( )
(4)-5是相反数.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
【例2】 (1)分别写出5、-7、-3、+11.2的相反数;(2)指出-2.4是什么数的相反数.
【答案】 (1)5的相反数是-5.-7的相反数是7.-3的相反数是3.+11.2的相反数是-11.2.
我们通常在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5;同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身.例如+(-4)=-4,+(+12)=12.
(2)-2.4是2.4的相反数.
【例3】 化简下列各数:
(1)-(+10); (2)+(-0.15);
(3)+(+3); (4)-(-20).
【答案】 (1)-(+10)=-10;(2)+(-0.15)=-0.15;(3)+(+3)=+3=3;(4)-(-20)=20.
四、巩固练习
课本P10练习的第1~3题.
【答案】 1.5,-1,3,2.6,-1.2,0.9,-.
2.(1)2.8 -3.2 (2)4 -7 (3)-8 9 3.C
五、课堂小结
1.只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点.
2.相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数,单独一个数不能被称为相反数,相反数是成对出现的.
3.正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“-”的功能是对一个数的符号予以改变.
第3课时 绝对值
教学目标
【知识与技能】
1.使学生初步理解绝对值的概念.
2.明确绝对值的代数定义和几何意义,会求一个已知数的绝对值,会在已知一个数的绝对值的条件下求这个数.
【过程与方法】
培养学生用数形结合思想解决问题的能力,渗透分类讨论的数学思想.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例抽象概括的独立思考和合作学习的过程,培养学生积极主动的学习习惯.
教学重难点
【重点】让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法及正确理解绝对值的概念.
【难点】对绝对值的几何意义和代数定义的导出与对“负数的绝对值是它的相反数”的理解.
教学过程
一、复习导入
师:同学们,我们先来做几个题目来复习一下上节课所学的知识.
1.在数轴上分别标出-5,3.5,0及它们的相反数所对应的点.
2.在数轴上找出与原点距离等于6的点.
3.相反数是怎样定义的?
引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义.从几何方面可以说在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数;从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数.那么互为相反数的两个数有什么相同的特征呢?由此引入新课,归纳出绝对值的定义.
二、讲授新课
师:下面我们一起来学习新课.
1.发现、总结绝对值的定义.
我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.
例如,在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以-6和6的绝对值都是6,记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.
2.试一试:你能从中发现什么规律?由绝对值的意义,我们可以知道:
(1)|+2|= ,= ;
(2)|0|= ;
(3)|-3|= ,|-0.2|= .
师引导学生概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点,在原点左边的点表示的数(负数)的绝对值又有什么特点.由学生分类讨论,归纳出数a的绝对值的一般规律:
(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)0的绝对值是0;(3)一个负数的绝对值是它的相反数.
即①若a>0,则|a|=a;
②若a<0,则|a|=-a;
③若a=0,则|a|=0.
3.绝对值的非负性.
由绝对值的定义可知:不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数),绝对值具有非负性,即|a|≥0.
三、例题讲解
【例1】 求下列各数的绝对值:-7,+,-4.75,10.5.
【答案】 =7;=;|-4.75|=4.75;|10.5|=10.5
【例2】 计算:(1)|0.32|+|0.3|;
(2)|-4.2|-|4.2|;
(3)|-|-(-).
分析 求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,然后由绝对值的性质得到.在(3)中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义.
【答案】 (1)0.62; (2)0; (3).
四、巩固练习
课本P11~P12练习的第1~5题.
【答案】 1.略 2.3,1.5,0,5,0.02,,,100 3.(1)17 (2)1 (3)0 (4)6 4.D 5.8,8,,
五、课堂小结
教师引导学生小结:
1.对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑,从几何方面看,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,它具有非负性;从代数方面看,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
2.求一个数的绝对值时注意先判断这个数是正数还是负数.