北师大版八年级数学下1.3《线段的垂直平分线》同步练习含答案
一、选择题
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是 （ ）
A.∠CAD<∠CBD B.∠CAD＝∠CBD C.∠CAD>∠CBD D.无法判断
2．如图1－75所示，在△ABC中，AD 垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DB<DE C. AB＋DB＝DE D. 无法判断
3．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和 △DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是 （ ）
A．24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
4．如图1－76所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是（ ）
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P
C.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接 A′B，则A′B与L的交点为P
5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
二、填空题
6．到线段AB两个端点距离相等的点，在 .
7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 c m， 则BD＝ cm．
三、解答题
8．如图l－77所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求 ∠PAQ的度数．
9． 如图1－78所示，在△ABC中，∠A ＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC边的垂直平 分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．
10．如图l－79所示，已知AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC 于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．
11．如图1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知
△ADE的周长为12 cm，求BC的长．
12．如图1－81所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保 留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）
13．如图1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
参考答案
1．B[提示：△CAD≌△CBD]
2．C[提示：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]
3．D[提示：AB的垂直平分线与边AC交于D，则BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．]
4．D[提示：由D中作法知，直线l垂直平分AA′，则PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，两点之间线段最短．]
5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．]
6．线段AB的垂直平分线上
7．2[提示：AD＝CD＝BD．]
8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN分别垂直平分AB，AC，∴△BP M≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴∠PAQ=∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝110°－ 70°＝40°．
9．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝DC，∴AC=AD＋DC=AD＋B D＝8 cm．又∵AB＝6 cm，∴AB＋AD＋DB ＝14 cm，即 △ABD的周长为14 cm．
10．解：因为D正垂直平分 AB，垂足为正，D正交AC于点D，所以DA＝DB，所以BD＋DC＝AD＋DC＝20 cm．又因为△DBC的周长为35 cm，即BD＋DC＋BC＝35 cm，所以BC=15 cm．
11．解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，所以DA＝DB，EA=EC，所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即为△ADE的周长．又因为△ADE的周长为12 cm，所以BC＝12 cm．
12．解：如图1－83所示．（1）方法1：设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形，∴AO＝ ，BO＝ ，∴A，B两村的距离为AB=AO＋BO＝ ＋2 ＝3 （km）．方法2：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E，易证四边形CDBE是矩形，∴C E＝BD＝2．在Rt△AEB中，由 ∠A=45°，可得EF＝CA＝3，∴AB＝ （km）．
（2）作法：①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．
13．解：OE⊥AB证明如下：在△BAC和△ABD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD， AB＝BA，∴△BAC≌△ABD，∴∠O BA＝∠OAB，∴OA＝OB．又AE＝BE，∴OE⊥AB．