趣味数学26: 孪生素数猜想

简介

孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题孪生素数猜想题中提出，可以被描述为“存在无穷个孪生素数”。

孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。因此，孪生素数猜想是反直觉的。

由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。

非估算性成果

早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为：

s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...

如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：

b=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+...

如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。[2]

1920年代，通过使用著名的筛理论（Sieve theory，基于埃拉托斯特尼筛法的理论），挪威的维果·布朗（Viggo Brun）证明了2能表示成两个最多有9个素数因子的数的差。这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到，只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数猜想了。

1966年由已故的我国数学家陈景润利用筛法 (sieve method) 所取得的。陈景润证明了： 存在无穷多个素数 p，使得 p+2 要么是素数， 要么是两个素数的乘积。 这个结果与他关于 Goldbach 猜想的结果很类似。 一般认为， 由于筛法本身的局限性， 这一结果在筛法范围内很难被超越。

2013年，5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对 张益唐”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。

孪生素数猜想可以弱化为“能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数”，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。而张益唐找到的正数是“7000万”。

尽管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如美国圣何塞州立大学数论教授Dan Goldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”

2013年5月13日，张益唐在美国哈佛大学发表主题演讲，介绍了他的这项研究进展。《自然》的报道称，如果这个结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。换言之，张益唐将给孪生素数猜想证明开一个真正的“头”。世界顶级数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）将准备接受张益唐作出证明的这篇文章，审稿人还评价“其证明是对的，并且是一流的数学工作”。[3]

2.2 估算性结果

证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性结果。 这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔Δ， 更确切地说是：

翻译成白话文， 这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔， 与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然， 孪生素数猜想如果成立， 那么 Δ 必须等于 0。 因为孪生素数猜想表明 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立， 而 ln(pn)→∞， 因此两者之比的最小值对于孪生素数集合 (从而对于整个素数集合也) 趋于零。 不过要注意， Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件， 而不是充份条件。 换句话说， 如果能证明 Δ≠0， 则孪生素数猜想就不成立； 但证明 Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。

对 Δ 最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理， 对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)， 这表明素数之间的平均间隔为 ln(x) (这也正是 Δ 的表达式中出现 ln(pn) 的原因)， 从而 (pn+1-pn)/ln(pn) 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为 1。 平均值为 1， 最小值显然是小于等于 1， 因此素数定理给出 Δ≤1。

对 Δ 的进一步估算始于 Hardy 和 Littlewood。 一九二六年， 他们运用圆法 (circle method) 证明了假如广义 Riemann 猜想成立，则 Δ≤2/3。 这一结果后来被被 Rankin 改进为 Δ≤3/5。 但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义 Riemann 猜想，因此只能算是有条件的结果。 一九四零年， Erdös 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果： Δ<1 (即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。 此后 Ricci 于一九五五年， Bombieri 和 Davenport 于一九六六年， Huxley 于一九七七年， 分别把这一结果推进到 Δ≤15/16， Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及 Δ≤0.4425。 Goldston 和 Yildirim 之前最好的结果是 Maier 在一九八六年取得的 Δ≤0.2486。[4]

2003年， Goldston 和 Yildirim 发表了一篇论文，声称证明了 Δ=0。[5]但2003年4月23日， Andrew Granville (University de Montreal) 和 Kannan Soundararajan (University of Michigan) 发现了 Goldston 和 Yildirim 证明中的一个错误。[6-7]2005年，他们与Janos Pintz合作完成了证明。[8]此外，若Elliott–Halberstam猜想成立，孪生素 Daniel Goldston[9]数猜想的弱化版本——存在无穷多对相距16的素数——在Δ=0时也会成立。

Δ=0 被证明后人们的注意力自然就转到了研究 Δ 趋于 0 的方式上来。 孪生素数猜想要求 Δ ~ [log(pn)] (因为 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的证明所给出的则是 Δ ~ [log(pn)]， 两者之间还有相当距离。但是看过 Goldston 和 Yildirim 手稿的一些数学家认为， Goldston 和 Yildirim 所用的方法存在改进的空间。 这就是说，他们的方法有可能可以对 Δ 趋于 0 的方式作出更强的估计。 因此 Goldston 和 Yildirim 的证明， 其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。

3 相关研究

1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。因此，波利尼亚克有时也被认为是孪生素数猜想的提出者。

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的强化版猜想：设为前N 个自然数里孪生素数的个数。那么

其中的常数 是所谓的孪生素数常数

其中的p 表示素数。

哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。