趣味数学92: 韩信点兵－中国剩余定理

    物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：'今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？'

　　这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？

　　变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。

　　这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

　　这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。

　　

　　我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？

　　

　　这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

　　

　　如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。

　　

　　例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。

　　

　　要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

　　

　　最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

　　

　　为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。

　　我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

　　三人同行七十稀，

　　五树梅花甘一枝，

　　七子团圆正半月，

　　除百零五便得知。

　　

　　'正半月'暗指15.'除百零五'的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

　　

　　这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

　　

　　按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：

　　70×2+21×3+15×4=263，

　　263=2×105+53，　

　　所以，这队士兵至少有53人。

　　在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：

　　70是5与7的倍数，而用3除余1；

　　21是3与7的倍数，而用5除余1；

　　15是3与5的倍数，而用7除余1.

　　因而

　　70×2是5与7的倍数，用3除余2；

　　21×3是3与7的倍数，用5除余3；

　　15×4是3与5的倍数，用7除余4.

　　如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b.所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足'3除余2、用5除余3、用7除余4'的要求。一般地，

　　70m+21n+15k（1≤m＜3，1≤n＜5，1≤k＜7）

　　能同时满足'用3除余m、用5除余n、用7除余k'的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。

　　我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？

　　为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了'三人同行七十稀'.

　　为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了'五树梅花甘一枝'.

　　为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了'七子团圆正半月'.

　　3、5、7的最小公倍数是105，所以'除百零五便得知'.

　　依照上面的思路，我们可以举一反三。

　　例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5.

　　解我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。

　　我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。

　　最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。

　　利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：

　　105×3+196×2+120×5=1307.

　　由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。

　　一般地，

　　105m+196n+120k（1≤m＜4，1≤n＜5，1≤k＜7）

　　是用4除余m，用5除余n，用7除余k的数；（105m+196n+120k）除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。

　　上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

　　35+196×2+120×5=1027

　　就是符合题意的数。

　　1027=7×140+47，

　　由此也可以得出符合题意的最小正整数解47.

　　《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的'物不知其数'问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。

　　凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。

　　上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。