趣味数学77: 飞奔下楼

      一个楼梯有100级。小明想用这样的方式来下楼梯：交替地先跳下几级再跳上几级，且他每次上下楼梯的级数只能是6（即超过5级，在第6级落下）、7或8级。此外，他不希望在同一极上落下两次。他能用这样的办法下楼吗？

　 　解 我们把先跳下几级后再跳上几级称为是一个下楼组。偶下楼组是指下及上的级数均不为7，而奇下楼组是指下及上的级数恰好只有一个为7。由要求不在同一梯极上停留两次，所以不考虑下及上同样级数这样的组，因为这保持原位不动。假定以这样的方式下楼是可以做到的，那么，小明最后一次下楼必须从第92级或更低级往下走（楼级编号是从楼上往下计）。设他到达这一级时经过了k个偶下楼组和l个奇下楼组，那么，他下楼前到达的梯级数至多是

　　2k+l≥92

　　另一方面，小李已经下楼及上楼共2k+2l次。如果他在下及上的过程中没有在同一梯级上停留过，那么必须有2k+2l≤100

　　这样就推出

　　l≤8，k≥42

　　这l个奇下楼组把这k个偶下楼组至多分为不多于9个相邻组段。

　　根据抽屉原理，最长的偶下楼组段的长度至少是5。由于不能在同一梯级上停留两次，所以相邻的两个偶下楼组不能是不一样的（即一为下6上8，另一为下8上6，另一为下6上8）。因此，在一偶下楼组段中所有的偶下楼组都必须是同样的。设这最长的偶下楼组段开始在第h梯级，若所有的偶下楼组均为下6上8 ，那么，小明将依次停留在第h+6，h-2；h+4，h-4；h+2，h-6；h，h-8梯级。所以不管何种情形，都将在同一梯级（h+8或h）上停留两次。因此，这样的下楼方式不能实现。