趣味数学60: 多少只动物

    这是久违的奎贝尔教授.奎贝尔教授：“我又为你们想出一个问题.在我饲养的动物中，除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外所有的都是鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？

　　奎贝尔教授只养了三只动物：一只狗，一只猫和一只鹦鹉。除了两只以外所有的都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外所有的都是鹦鹉。

　　如果你领悟到“所有”这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答案。最简单的情况一只狗，一只猫，一只鹦鹉，既是其解。然而，把这个问题用代数形式来表示也是一次很好的练习。

　　令x，y，z分别为狗，猫，鹦鹉的只数，n为动物的总数，我们可以写出下列四个联立方程：

　　n=x+2

　　n=y+2

　　n=z+2

　　n=x+y+z

　　解此联立方程有许多标准方法。显然，根据前三个方程式，可得出x=y=z。由于3n=x+y+z+6减去第四个方程，得到n=3，因此x+2=3，所以x=1。全部答案可由x值求得。

　　由于动物只数通常是正整数(谁养的猫是用分数来表示只数的?)，可以把奎贝尔教授的动物问题看作所谓刁番图问题的一个平凡例子。这是一个其方程解必须是整数的代数问题。一个刁番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有不止一个或个数有限的解，有时有无穷多个解。下面是一个难度稍大的刁番图问题，同样也与联立方程和三种不同的动物有关。

　　一头母牛价格10元钱，一头猪价格3元钱，一头羊价格0．5元钱。一个农夫买了一百头牲口，每种至少买了一头，总共花了100元钱，问每种牲口买了多少头?

　　令x为母牛的头数，y为猪的头数，z为羊的头数，可以写下如下两个方程式：

　　10x+3y+z/2=100

　　x+y+z=100

　　把第一个方程中的各项都乘以2消去分数，再与第二个方程相减以便消去z，这样得到下列方程式：

　　19x+5y=100

　　x和y可能有那些整数值?一种解法是把系数最小的项放到方程的左边：5y=100－19x，把两边都除以5得到：

　　y=(100－19x)/5

　　再把100和19x除以5，将余数(如果有的话)和除数5写成分数的形式，结果为：

　　y=20－3x－4x/5

　　显然，表达式4x/5必须是整数，亦即x必须是5的倍数。5的最小倍数既是其自身，由此得出y的值为1，将x，y的值带入任何一个原方程，可得z等于94。如果x为任何比5更大的5的倍数，则y变为负数。所以，此题仅有一个解：5头母牛，一头猪和94头羊。你只要把这个问题中牲口的价?改变一下，便可以学到许多初等刁番图分析的知识。例如，设母牛价钱为4元钱，猪的价钱为2元钱，羊的价钱为三分之一元钱，一个农夫准备花一百元钱买一百头牲口，并且每种牲口至少买一头，试问他每种牲口可以买多少头?关于这一问题，恰好有三种解。但是如果母牛价钱为5元钱，猪的价钱为2元钱，羊0．5元钱呢?那就无解。

　　刁番图分析是数论的一大分支，其实际应用范围极广。有一个著名的刁番图问题，以费马最后定理而著称：设有方程xn+yn=zn，其中n是大于2的正整数，问此方程是否有整数解(如果n=2，则称此为毕达格拉斯三元数组，具有自32+42=52起始的无穷多组解)?这是一个最著名的数论问题，已经由英国数学家安德鲁。威尔斯解决，他用于解决此问题的方法可以说是大大出乎人们的意料，他应用了一种叫做椭圆函数的理论，实际上，他证明的并不是方程本身，而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想：谷山－志村猜想。由于椭圆函数的模形式与费马最后定理同构，所以，等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题。