趣味数学59: 缺失的数字

在下面这个加法算式中，每个字母代表0～9的一个数字，而且不同的字母代表不同的数字。

　　AB

　　CD

　　EF

　　+GH

　　————

　　III

　　请问缺了0～9中的哪一个数字？

　　（提示：I必定代表哪个数字？）

　　答案

　　由于每一列都是四个不同的数字相加，所以一列数字加起来得到的

　　和最大为9+8+7+6，即30。由于I不能等于0，所以右列向左列的进位不能大于2。由于向左列的进位不能大于2，所以I（作为和的首位数）不能等于3。于是I必定等于1或2。

　　如果I等于1，则右列数字之和必定是11或21，而左列数字之和相应为10或9。于是，

　　（B+D+F+H）+（A+C+E+G）+I=10+10+1=22，

　　或者

　　（B+D+F+H）+（A+C+E+G）+I=21+9+1=31。

　　但是，从1到9到这十个数字之和是45，而这十个数字之和与上述两个式子中九个数字之和的差都大于9。这种情况是不可能的。因此I必定等于2。

　　既然I等于2，那么右列数字之和必定是12或22，而左列数字之和相应为21或20。于是，

　　（B+D+F+H）+（A+C+E+G）+I=12+21+2=35，

　　或者

　　（B+D+F+H）+（A+C+E+G）+I=22+20+2=45。

　　这里第一种选择不成立，因为那十个数字之和与式子中九个数字之和的差大于9。因此缺失的数字必定是1。

　　至少存在一种这样的加法式子，这可以证明如下：按惯例，两位数的首位数字不能是0，所以0只能出现于右列。于是右列其他三个数字之和为22。这样，右列的四个数字只有两种可能：0、5、8、9（左列数字相应为3、4、6、7），或0、6、7、9（左列数字相应为3、4、5、8）。显然，这样的加法式子有很多。