趣味数学56: 从美的角度看数学

生活中的美是无处不在的，只要你肯于发现。人们总是如痴如醉的追求美得事物。说起美，人们最容易想到的是“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画，动听的乐章、精妙的诗文……这些艺术美。然而，数学，这自然科学的皇后里面，蕴含着比诗画更美丽的境界。

　　古希腊数学家普洛克拉斯说：“哪里有数，哪里就有美。”人类对数学的认识最早是从自然数开始的。这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震颤了。

　　毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数。他认为，数本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆数。但在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也存在着数的作用吗？

　　“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。

　　学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我，我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了。人们惊叹道：亲和数的关系太微妙了。随着研究的深入，人们又发现了更奥妙的高阶亲和数――联谊数。于是狭隘的两人的天地扩展为多人的世界。似乎它们也懂得“再完美的两人世界也不能代表人世间所有的美丽”的道理呢。

　　6也是一个美的数字。古代意大利曾把它作为“美满婚姻”的象征。因为它恰好等于其所有真因子1、2、3之和。呵，多么完美的性质！因此人们称这类数为完数，而6正是其中最小的一个。

　　另外，勾股数、质数……所具有的美妙性质，也引无数英雄竞折腰。

　　许多人正为探寻费马?定理、哥德巴赫猜想的奥妙而“三月不知肉味”呢。而幻方，作为数学世界的百慕大三角，正是这奇珍中最耀目的一颗。最初的魔方阵，是中国所谓神龟背上的法宝――洛书的图形。这是一个三阶幻方古代人们为它的美妙与神秘所吸引，甚至曾把它作为护身符挂在身上。而后人们又找到了“美妙方”、“超魔方阵”，以及令人叹为观止的双料幻方。而形式上也从平面正方图形扩展为多角形图、立体图、圆图……花色满目，美不胜收。而对幻方工作进行得愈深入，研究得愈细致，它的奇巧特点就愈见其层出不穷，它所呈现出的美也就越令人震颤。

　　这些，就是普通的自然数所玩弄的无穷花样中的一部分。而无穷尽的数正象辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉，甚而你也许会有幸步入龙宫，见到更加奇伟怪丽、五彩斑斓的景象，进入数学海洋深入的殿堂，一窥数学的美境。这时，你肯定会与普洛克拉斯产生共鸣，而由衷赞叹一声：啊，哪里有数，哪里就有美。

　　审美实践告诉我们，人们对美的感受都是直接由形式引起的。但数学的形式美还不单纯表现在自然数所玩弄的这些许花样上，和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形式美的享受。

　　和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志。这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神。人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的的魅力也离不开它。真是：哪里有黄金数，哪里就有美的闪光。

　　优美的曲线同样带给人们美的享受。如得之于自然界的四叶玫瑰线、对数螺线及应用于建筑中人为设计的超椭圆曲线等。更有那久负盛名的茂比乌斯曲线。华盛顿一座博物馆的门口，有一座奇特的数学纪念碑，碑上是一个八英尺高的不锈钢制的茂比乌斯圈。它日夜不停缓缓地旋转着，带给人们美感享受的同时，又昭示出人类正如它一样永无休止地前进着。

　　在数学的园地里，完全正方形作为一朵沁人心脾的奇花，曾陶醉过多少观赏者！五种正多面体以其形式美带来的神秘感，使古代人曾把它们分别作为火、风、水、土、空气的象征，而这五种图形总名之为宇宙的图形。由宇宙美神得到的黄金矩形是最令人心醉的优美图形之一。它在形式比例上具有相当高的美学价值。因而，日常生活中的许多物品，诸如像柜、图书、杂志、火柴盒及至国旗都采用了这一优美的图形，以带给人们更多的美感的享受。

　　对称均衡是数学形式美的主要特征。各种对称或均衡图形如等边三角形、圆、双曲线……及著名的杨辉三角形等，都会带给人们美的享受。

　　然而数学带给人们的美远不止这直观的形式美。正如人的美不单在外表，更在内心一样，数学的深刻的本质的更加诱惑人的离奇古怪宽广无际的美却在于它内在奇妙结构的完美的和谐统一性。

　　数学中的美，不是以艺术家所用的色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、定理或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完?图象。只有数学内在结构的美，才更令人心驰神往与陶醉。它的博大精深与简明透彻都给观赏者以巨大的美的感染。

数学内在美的标准在于它的真实、准确简洁、和谐与普遍。

　　真中见美，是数学内在美的重要特征之一。真与美总是紧密相连的，而数学堪称真的楷模。正确性是数学中绝对的准则。但这种真，却是源于生活，而高于生活。如从实践中得到的点、线、面就是高于生活的完美的、理想化的图形――理想直线只具有长度，两条理想的、完美的，准直的理想直线，相交于一个理想的、完美的点，而这个点除了位置以外竟压根儿就没有大小；数学中所定义的圆，比任何画家和文学家所能描绘的都更加完美无缺。正是这种真实与正确，使数学显示出它特有的美的魅力，使它能延续几千年乃至永久。

　　简洁性、和谐性与普遍性三者的统一，是数学内在美的另一重要特征。简洁是数学中引人注目的美感之一。通行世界的符号可算是最简洁的文字，精炼准确的数学概念和定理的表述，可算是最简洁的语言。数学以其简洁的形式，从一组简洁明了的公理、概念出发而推证出各种令人惊叹的定理和公式，使人们洞察到其内在的和谐性和秩序性，从中产生一种崇高、博大，妙不可言的审美感受。正如绘图时用三种原色绘制出各种色彩缤纷的图画或简谱中凭借七个音符谱写出各种令人心醉的乐章所带给人们的艺术美的享受一样。从这一组定义、公理出发，演绎出一套逻辑体系，从而建成一座巍峨的数学大厦，这是众多数学家乐意玩的游戏。而欧几里德正是玩弄这种游戏的第一位大家。当他把欧氏几何的逻辑体系呈现在世人面前时，世人为这一壮举所折服了、迷住了。爱因斯坦感叹道：这是人类一个可赞叹性的胜利。更有人断言：能觊觎美神真面目的，唯欧几里得一人而已。

　　二战后的布尔巴基学派更把数学公理化的浪潮推向了高峰。数学的严谨、简洁在这浪潮得到了充分的体现。这时的数学，遵循着“不漏不重原则。”如同求轨迹问题的解时，应做到纯粹性与完备性的统一。数学家找到的那组公理，应该是少一个不行，多一个不要，在不多不少，恰好够用的公理基础上，得出一套严谨的逻辑体系，建成一座座数学的大厦。毕达哥拉斯说过：凡是美的东西都具有一个共同特征，这就是部分部分彼此之间，以及部分与整体间固有的协调一致。这协调一致产生的和谐美，在一座座数学大厦中都得到了体现。然而当随着数学的发展，一座座原本各自为政，不通有无的数学大厦之间忽然架起各式各样的友谊之桥时，人们就会为这以前没有认识到的亲缘关系而大吃一惊，同时产生一种出乎意料、不期而遇的美的享受，更领略到数学内部结构的和谐美。如，早期的代数与几何之间曾是若即若离，而当两者间的友谊信鸽――解析几何――诞生，就使两者紧密联系在一起，再也分不开了。如今数形统一的观点早已深入人心，人们亦从中感觉到了数和形的调和美。再如，概率学作为研究偶然现象的科学，因其显得特异，甚至曾一度被排斥在数学殿堂之外，而当实变函数论形成后，它作为一种特殊的测度，而理所当然地被请进了数学的大雅之堂。现在，各个数学分支间已形成了各式各样、错综复杂的关系网，一座座原先孤立的数学大厦已联结成为一个整体。数学已成为由各个数学分支紧密结合而成的和谐统一体。这时，数学家似乎可以高枕在数学大厦之巅，让世人尽情观摩数学的美了。不，如同物理学家总醉心于寻求宇宙之砖一样，数学家还要据探求建成数学大厦的基石。20世纪初，康托尔的集合论被普遍接受后，庞加莱自傲且自信地在巴黎国际数学会议上宣称道：数学的严格性，看来直到今天才说是实现了。集合论奠定了数学大厦的基础。数学的最后基石和终极意义的问题获得了圆满地解决。直到这时，数学的美才在世人面前一览无余了。人们已经能够直接领略到数学内部结构有机联系的美妙图景，并为这美所陶醉了。

　　罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学总是美的?数学是美的科学。