趣味数学25: 费马猜想

　费马猜想﹝Fermat's conjecture﹞又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。」费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支。 
 

         若用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程xⁿ + y ⁿ = z ⁿ 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x⁴ + y ⁴ = z ⁴ ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1﹝p是一个奇素数﹞均无xyz≠0的整数解。

    n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情形，但证明不完全。勒让德﹝1823﹞和狄利克雷﹝1825﹞证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p < 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立。 
 

      现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尤和希思─布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则N(x)/x→0(x→∞)证明中用到了法尔廷斯﹝Faltings﹞的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xⁿ+ y ⁿ = z ⁿ ，则x > 10^1,800,000。 
 

      经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题。有兴趣的读者可参考本网页资源中心﹝讲义﹞一栏内「费马最后定理」之数据。