人教版数学八年级上第十二章“轴对称”简介
第十二章　“轴对称”简介
课程教材研究所　李海东
　　八年级上册第12章是“轴对称”，主要包括轴对称和等腰三角形的有关内容。本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　12．1 轴对称                                      3课时
　　12．2 作轴对称图形                                3课时
　　12．3 等腰三角形                                  5课时
　　数学活 
　　小结                                              2课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）本章知识结构框图
　　本章知识结构如下图所示：
　　（二）教科书内容
　　本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。
 
　　轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。接下来，在第2小节“作轴对称图形”中，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
 
　　等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。
 
　　在本章，轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。
 
　　按照整套教科书对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求学生证明。由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，要注意帮助学生克服这一难点。
 
　　（三）课程学习目标 
　　1．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；
　　2．探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；
　　3．了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法；
　　4．能初步应用本章所学的知?解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。
 
　　二、本章编写特点
　　1．有机的整合“图形与几何”领域的相关内容，利用变换研究图形的性质
　　在以往的教科书中，等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。在本套教科书中，等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章，学生学完了轴对称的相关性质之后，利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用三角形的全等的知识给以证明，这是本章编排上的一个特点。
 
　　等腰三角形是一个很好的轴对称图形，它的许多性质都与它是轴对称图形有关。利用它的轴对称性，不仅有助于发现等腰三角形的一些性质，而且也能为利用三角形全等的知识证明一些性质提供思路，在教科书的编写中，充分重视了这一点。例如，教科书引出等腰三角形概念时，不是直接给出定义，而是直接通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个三角形。这个剪三角形的过程，就是利用轴对称得到一个等腰三角形的过程。这个过程还保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴。接下来教科书安排的“思考”栏目是前面“探究”的继续，受剪出等腰三角形的过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。通过找出其中重合的线段和重合的角利用轴对称变换的性质，可以很容易的引导学生得出等腰三角形的两个性质：“等边对等角”以及“三线合一”。在进一步证明这两个性质的过程中，关键是要添加辅助线，而有了前面的“探究”“思考”的铺垫，如何添加这个辅助线也就是水到渠成的了。
 
　　再如，利用等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。教科书也安排了这样一个“数学活动”，让学生利用等腰三角形的轴对称性去发现一些等腰三角形中的相等的线段和角，利用图形的运动研究图形的性质。等腰三角形是一种轴对称图形，教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后，就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质。将图形的运动与图形的认识、图形的证明有机整合，利用运动研究图形，得到图形的性质，再通过推理证明这些结论。
 
　　2．注意联系实际
　　人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“图形与几何”的学习提供了大量真实的素材。本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中。
 
　　例如，轴对称现象在生活中是很常见的，教科书选用了从天安门到故宫的鸟瞰图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称现象的无处不在，通过观察这些图形，引出轴对称的概念。在实际教学中，可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子，这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形，更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形，使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案，并能够从中发现轴对称的特征。
 
　　除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外，教科书也给出了一些应用轴对称的例子，如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、简单的利用轴对称设计图案、利用轴对称解决一些有关最大、最小的选址问题等等，教科书也注意体现所学知识的应用，体现一个具体──抽象──具体的过程。
 
　　3．注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程
　　在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。
 
　　例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理?证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。
 
　　三、几个值得关注的问题
　　1．注意知识间的联系
　　本章的内容较多，课程标准“图形与几何”领域中图形的性质、图形的运动、图形与坐标各个部分的内容在本章都有涉及，教学时要注意把握各个部分内容之间的联系，有机的整合各个部分的内容。
 
　　本章从认识轴对称图形开始，又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称（两个图形成轴对称），要注意这两个概念间的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，说的是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。它们的联系：定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两个图形就是关于这条直线成轴对称，反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。从运动的角度来看，成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称得到，一个轴对称图形由它的一部分为基础，经过轴对称拓展而成。
 
　　另外，教科书还安排了用坐标表示轴对称的内容，从数的角度刻画轴对称的内容。包括关于坐标轴对称的点或图形的坐标的变化以及由点或图形坐标的变化引起点或图形轴对称的内容。这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来。
 
　　2．满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间
　　本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。
 
　　3．注意推理证明的教学
　　对于推理证明的要求，教科书是按“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等分层次安排的。在这一章，不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。
 
　　学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复杂程度也增加了，因此，如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点。教学时，要克服这一难点，关键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析证题思路，找出证明的途径。因为学过的定理多了，从已知出发可以有多种途径选择，分析问题时要结合结论一起考虑，采用“两头凑”，教学时可向学生介绍这种方法。
 
　　另外，以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角形，也总习惯于找全等三角形。虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但要注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势。可结合具体问题让学生自己分析，寻找证明方法。对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的性质的问题，应当让学生选择简便方法。在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。虽然“三线和一”，但添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度也不同，需要具体问题具体分析，这一点要注意。
 
　　3．重视现代信息技术工具的应用
　　信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来。
 
　　在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，许多计算机软件都有进行轴对称变换的功能，利用这个功能，可以方便的做出轴对称图形，并研究它的性质，教科书也专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，利用计算机软件探索轴对称的性质，探索轴对称的点的坐标的特点，探索线段垂直平分线的性质，利用计算机软件进行图案设计等。有条件的学校，应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习。