苏科版八年级上2.4线段、角的轴对称性(4)学案
预习目标
    1．进一步掌握线段垂直平分线和角平分线的性质与判定，学会有条理的思考与表达．
    2．能够灵活运用线段垂直平分线和角平分线的判定定理，知道三角形内角的平分线交于一点．
教材导读 
    阅读教材P55～P56内容，回答下列问题：
    1．三角形的三条内角平分线交于一点如图①，已知△ABC，先作出∠B、∠C的平分线，相交于点O，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D、E、F，再填空：
    ∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
    ∴OD＝OE(    )．
    ∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
    ∴_______＝_______．
    ∴_______＝_______＝_______．
    ∵OD＝OF，OD⊥AB，OF⊥AC(即点O到∠BAC的两边AB、AC的距离相等)，
    ∴点O在_______的平分线上(    )．
    2．线段垂直平分线的性质和判定的综合应用
    (1)如图②，AC＝AD，BC＝BD，请完成EC＝ED的说理过程．
    ∵AC＝AD．
    ∴点A在线段CD的_______（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
    ∵BC＝BD．
    ∴点B在线段CD的_______（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
    ∴AB___________CD．
    ∵点E在直线AB上，
    ∴EC＝_______（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
(2)如图③，点P为△ABC的边AB与AC的垂直平分线的交点，∴PA_______PB，PA_______PC．∴PB_______PC，∴点_P在边BC的_______．
例题精讲
    例1　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
    (1)AD＝FC．
    (2)AB＝BC＋AD．
    提示：(1)根据AD∥BC，可知∠D＝∠ECF，再根据E是CD的中点，∠AED＝∠FEC，可以判断出△ADF≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF．
    点评：本题将线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质结合起来考查，需要同学们有条理地分析问题并正确地将证明过程表达出来．
    例2　如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一边在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．求证：
    (1)△ACE≌△DCB．
    (2)∠APC＝∠BPC．
提示：(1)根据“SAS”易证出两个三角形全等．(2)可构建点C到∠APB两边的距离，从而转化为证明△ACE与△DCB的边AE、BD上的高相等，从而运用其面积相等建立等式解决问题．
    热身练习
1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是 (    )
A．PA＝PB    B．PO平分∠APB   C．OA＝OB    D． AB垂直平分OP
2．到三角形三边距离相等的点是这个三角形    (    )
A．三条高的交点     B．三条中线的交点
C．三边垂直平分线的交点     D．三条内角平分线的交点
3．如图，点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若PE＝3，则PF＝_______．
4．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地点有_______处．
5．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个小镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等且最短，并且到两个小镇的距离相等且最短，请你作出中心站的位置（保留作图痕迹，不写作法）．